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2_9平面曲线的曲率培训资料.ppt
第八节
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二、 弧微分
三、 曲率及其计算公式
四、 曲率圆与曲率半径
平面曲线的曲率
一、函数作图
作业:习题2.8
(A)1(1)(3)(5), 2, 3, 4.
第二章习题
2,3, 5,8, 10, 12,14 .
一、函数作图
利用函数的性态,就可以比较准确的画出函数的图像,其一般步骤如下.
第一步
第二步
第三步
第四步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线;
第五步
例1
解
非奇非偶函数,且无对称性.
列表确定函数增减区间,凹凸区间及极值点和拐点:
不存在
拐点
极值点
间断点
凹
凸
凸
凸
作图
曲线的弯曲程度 (曲率)
与切线的转角有关
与曲线的弧长有关
则弧长微分公式为
或
几何意义:
若曲线由参数方程表示:
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三、曲率的定义及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为
对应切线
定义
点 M 处的曲率
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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转角为
例2. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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有曲率近似计算公式
故曲率计算公式为
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
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说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
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例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解:
故曲率为
K 最大
最小
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求驻点:
设
从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点
处曲率
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计算驻点处的函数值:
最大.
四、 曲率中心与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
,
R 叫做曲率半径,
D 叫做曲率中心。
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
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设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为
满足方程组
的坐标公式 .
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由此可得曲率中心公式
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例4. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
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且 l R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
离心力必须
连续变化 ,
因此铁道的
曲率应连续变化(p155) .
例4. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
且 l R.
处的曲率.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
求此缓和曲线在其两个端点
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解:
显然
内容小结
1. 弧长微分
或
2. 曲率公式
3. 曲率圆
曲率半径
曲率中心
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ;
凹向一致 ;
曲率相同.
2. 求双曲线
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
则
利用
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