5.5 线性映射及矩阵的运算演示教学.ppt

§5 线性映射及其矩阵的运算 线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算 乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律 线性映射与矩阵的加法运算 矩阵的加法运算 线性映射与矩阵加法的基本性质 线性映射的数乘运算 基本性质: 矩阵的数乘运算 我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与数k的数乘，记为C = kA. 基本性质: 例题 5.1 解: (1) 原式= 线性映射与矩阵的乘法运算 可以作出它们的乘积映射： 矩阵的乘法运算(2) 两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相等. 例题 5.2 计算矩阵的乘积 解: AB 的(1,1)元为 =-25 其它元可以类似地求得. 例子 5.3 例子 5.4 解: 经计算得 矩阵与列向量的乘积 设 计算 解： 第 i 分量为 即 几点说明（1） 1) 线性方程组的表达式的简化. 设线性方程组如下 引进记号 则线性方程组可以表示成 几点说明(2) 2) 线性映射的坐标表示. 则有 事实上， 由坐标的唯一性 几点说明（3） 形式表示： 为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积”的形式，比如 比较（1）与（2）得到 乘法结合律 由于映射的乘积满足结合律, 线性映射的乘积也满足结合律. 设 则有 根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法 也满足结合律. 命题5.2 矩阵的乘法满足结合律. 具体地说, 设 则 关于交换律与消去律 1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律. 2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设 线性映射矩阵的乘法分配律 则有 1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律. 矩阵转置的运算 有 证明：只验证第三条性质. 其它 方阵的乘幂： 方阵的乘幂满足指数运算法则： 标量矩阵的基本性质