7-3 三重积分的计算法—直角坐标培训资料.ppt

* 7.3 三重积分 计算三重积分的方法也是将它化为累次积分,即化为先定积分后二重积分或先二重积分后定积分的形式,从而化为三次积分,这两种方法分别称为”投影”法和”切片”法。 7.3.1 三重积分的定义 定义7.3.1 设f (x,y,z)是空间有界闭区域 ?上的有界函数。将??任意分成n个小闭区域 ? v1, ? v2,…, ? vn, 其中?vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。 在每个?vi上任取一点(? i , ?i, ? i) ，作乘积 f (? i , ?i, ? i) ?vi (i=1,2,… ,n) ， 其中dv叫做体积元素。 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分?，那么除了包含?的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域?vi为长方体。 设长方体小闭区域?vi的边长为?xj, ?yk, ?zl，则?vi= ?xj? yk? zl。 所以 ，在直角坐标系下体积元素为：dv=dxdydz 7.3.2 利用直角坐标计算三重积分 基本方法：化三重积分为三次定积分 dv=dxdydz 1. 假设平行于z轴且穿过闭区域?内部的直线与闭区域?的边界曲面S相交不多于两点。 一、投影法 先将x，y看作定值，将 f (x,y,z)只看作z的函数， 在区间[z1(x,y), z2(x,y)]上对z积分。 然后计算F(x,y)在闭区域 D 上的二重积分 积分的结果是x,y的函数，记为F(x,y)，即 若?在xoy平面上的投影区域记为Dxy，则有 若投影区域Dxy能用不等式表示: ?1(x)? y ? ?2(x)，a ? x ? b 则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式： 此公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。 上式的方法概括为： “先单后重法”，或 “投影法” x y o 1 解 x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) x+2y=1 Dxy x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) x y o 1 x+y=1 Dxy 2. 若平行于y轴或 x 轴且穿过闭区域?内部的直线与闭区域?的边界曲面S相交不多于两点，则 z x o R x y z o H R x z o R x y z o H R 二、切片法 又叫“先重后单法” 设区域? 夹在平面 z = c1，z = c2(c1? c2)之间 z y x o 用竖坐标为z (c1? z ? c2)的平面截?所得截面为Dz或D(z)，即 z y x o 特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=?(z), ② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积分简单， ①Dz简单（圆、椭圆、长方形等） 上式的适用范围： 解 D0 Dz z x y z a b o c *