ch12-3三重积分的计算1培训资料.ppt

第三节 一、直角坐标系下三重积分的计算 二、柱面坐标系下三重积分的计算 三重积分的计算 第十二章 三、球面坐标系下三重积分的计算 3. 变密度空间立体的质量计算 设有空间立体 Ω, 其密度为 μ= μ( x , y , z ) ( μ = μ( x , y , z ) 在 Ω 上连续 ) , 计算立体 Ω 的 质量 m 1) “大化小”: 将 Ω 划分成至多只有公共边界面的 n个空间子区域 : 则有 ? 当 充分小时 , 则 μ=μ( x , y , z ) 在 上近似于常数 ( 即近似于不变 ) 任取 , 则在 上 当 时 , 2)“常代变” 3)“近似和” 4)“取极限” 一、直角坐标系下三重积分的计算 方法1 . 投影法 (“先单后重”) 方法2 . 截面法 (“先重后单”) 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 记作 A. 利用先单后重的方法计算三重积分 （1） 则利用二重积分化为 二次积分的方法进一步可 将 (1) 的积分化为 三次积分 所以有 (2) 公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分 同理对于区域 可得以下先单后重公式: (3) 对于区域 (4) 可得以下先单后重公式: 根据区域 Dxz , Dyz 的情况 , 利用化二重积分为 二次积分的方法 , 再将积分 (3) , (4) 化为三次积分 解 其中Ω由三个坐标平面及平面 x + 2y + z = 1 所界 例 计算积分 Ω往 xy 平面上的投影区域 Dxy 如图所示 利用先单后重公式 (1) 解 其中Ω由曲面 例 计算积分 所界的立体 Ω往 xz 平面上的投影区域 解 例 计算积分 其中Ω由 x + y + z = 1 及三个坐标面所界 解 例 计算积分 , 其中 由于 yz , xy 关于 y 是奇函数 , Ω关于 xz 平面对称 由于 zx 关于 z 是奇函数 , Ω关于 xy 平面对称 所以 B、用先重后单方法化三重积分为三次积分 将Ω往 z 轴上投影得投影区间： 用平面 z = z ( z∈[ c , d ] , 取定 ) 截Ω得截痕面 Dz , 则区间 [ z , z + dz ] 所对应的 薄柱体微元的质量为: 可以看到: Ω 的质量就是 Ω中所有这种薄柱体 微元质量的无限累积 , 利用微元法有 从而得到以下先重后单公式 其中 Dy 是 y = y∈[ b1 , b2 ] 与Ω的截痕区域 , [ b1 , b2 ]是Ω在 y 轴上的投影区间 类似地有 其中 Dx 是 x = x∈[ a , b ] 与Ω的截痕区域 , [ a , b ] 是Ω在 x 轴上的投影区间 例.计算三重积分 解: *