图像处理中的正交变换教学文稿.ppt

３.4霍特林（ K-L）变换 K-L变换也称为特征矢量变换、主分量变换或霍特林(Hotelling)变换，它是基于图像统计特性的变换。 特点：K-L变换能够充分去除相关性，把有用的信息 集中到数目尽可能少的主分量中。 应用：主要用于图像压缩、图像旋转、图像增强、 遥感多光谱图像的特征提取与信息融合等方面。 K-L变换定义 定义：设x=[x1 x2…xN]T是一个N维随机列矢量，其各 分量的二阶矩阵存在，进一步假设得到M个矢量采样 x1,x2,…,xM。（在实际应用中，将图像看成随机失量） 例：具有N个像素的图像f(n,m)在某个通信信道传输了 M 次，由于受到随机干扰，接收到的是一个图像 样本集合{f1(m,n)，f2(m,n)，…，fM(m,n)}。对第i次 获得的图像fi(m,n),可用一个N维随机列矢量xi表示， 从而图像样本集合可表示为{x1,x2,…xM }。 其 中：mx =E[X] 为 列 矢 量x 的 均 值 矢 量； UT 为 矢 量X 协 方 差 矩 阵Cx 的 正 交矩阵， 使Cx 对 角 化； 随机列矢量x=[x1 x2…xN]T 的K-L 变 换 定 义 为： y=UT(x-mx) 矢量X的协方差矩阵： K-L 变 换 的 反 变 换 为： 在实际应用中，Cx与mx可通过样本x1,x2,…xM来估计， 即： K-L变换的性质： K-L变换能够充分去除相关性； K-L反变换可以精确重建x； K-L变换是在均方误差最小意义下的最优变换。 7.二维傅里叶变换的分离性 设二维傅里叶变换对为： 由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。 8．旋转性质 二维离散傅立叶变换的旋转性 原图像 原图像的傅立叶频谱 旋转后的图像 旋转后图像的傅立叶频谱 ９．平均值 ３.1.4 快速傅里叶变换（FFT） 逐次加速法的快速傅里叶变换算法： 上式表明： 一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算， 用式（1）、（2）计算2个（N/2）点的变换得到Feven(u) 和Fodd(v),在将它们代入（3）、（4），得到F(u)。 偶数区 奇数区 输入数据 2点变换 4点变换 8点变换 注意：输入数据的排列顺序采用“位对换”原则。 F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111 “位对换原则”： F(0)中，0的二进制数为000，则它的左位与右位 对调后为000，即f(0)。 F(1)中，1的二进制数为001，则它的左位与右位 对调后为100，即f(4)。 F(2)中，2的二进制数为010，则它的左位与右位 对调后为010，即f(2)。 F(3)中，3的二进制数为011，则它的左位与右位 对调后为110，即f(6)。 3.5 离散图像变换的一般表达式 图像变换的核： ３. 2离散余弦变换(DCT) 应用： 主要用于图像压缩编码、数字水印。 1.一维离散余弦变换及其反变换定义： 2.二维离散余弦及其反变换定义： a) 原始图像 b) 离散余弦变换后的频谱 二维图像及其离散余弦变换频谱的显示 快速离散余弦变换： 1）先将f(x,y)进行快速傅里叶变换，再取其实部。 2）代数分解法 3.DCT变换特点： 与DFT不同的是，DCT是实值的，它广泛应用于 数字信号处理，特别是语言和图像的数据压缩。 实例：离散余弦变换在图像压缩中的应用 a) 未经压缩的原始图像 b) 采用JPEG方式压缩存储的图像 ３.3沃尔什—哈达玛变换（Walsh-Hadamard） 1.沃尔什（DWT）变换： （1）一维（1-D）离散沃尔什变换对： （2）二维（2-D）离散沃尔什变换对： 例：一个二维数字图像矩阵为： 求图像的二维沃尔什变换。 解： 由例题可知：二维沃尔什变换具有某种能量集中的特性，而且原始数字中数字越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，应用二维沃尔什变换可以压缩图像信息。 2.哈达玛（DHT）变换 （1）一维哈达玛变换： 一维哈达玛变换只差一个常数项： 。 （2）二维哈达玛变换 二维哈达玛正变换和反变