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图的矩阵表示; 定义10.18 设 G＝(V, E) 为简单图，它有 n 个结点 V＝{v1, v2, …, vn}，，则 n 阶方阵 称为 G 的邻接矩阵。 其中 ;有向图 ; 用图形表示图的方法，关于结点间的通路很容易在图形中看出来，但在邻接矩阵中就需经过计算。设有向图 G 的结点集 V＝{v1, v2, …, vn}，它的邻接矩阵为： A(G)＝(aij)n×n，现在我们来计算从结点 vi 到结点 vj 的长度为 2 的路的数目。注意到每条从结点 vi 到结点 vj 的长度为2的路的中间必经过一个结点vk，即vi→vk→vj (1≤k≤n)，如果图中有路 vivkvj 存在，那么 aik＝akj＝1，即 aik·akj＝1，反之如果图 G 中不存在路 vivkvj，那么 aik＝0 或 akj＝0，即 aik·akj＝0，于是从结点 vi 到结点 vj 的长度为 2 的路的数目等于：; 按照矩阵的乘法规则，这恰好是矩阵中的第 i 行，第 j 列的元素。; 从结点 vi 到结点 vj 的一条长度为 3 的路，可以看作从结点 vi 到结点 vk 的长度为 1 的路，和从结点 vk 到结点 vj 的长度为 2 的路，故从结点 vi 到结点 vj 的一条长度为 3 的路的数目： 即：;一般地有;定理10.10 设 A(G) 为图 G 的邻接矩阵，则 (A(G))l 中的 i 行 j 列元素 等于 G 中连接结点 vi 与 vj 的长度为 l 的路的数目。 证明：归纳法证明。 (1) 当 l＝2 时，由上得知是显然成立。 (2) 设命题对 l 成立，由 故 ;【例10.6】给定一图 G＝(V, E) 如下图所示。; 在许多问题中需要判断有向图的一个结点 vi 到另一个结点 vj 是否存在路的问题。如果利用图 G 的邻接矩阵 A，则可计算 A，A2，A3，…，An，…，当发现其中的某个 Al 的 aij(l)≥1，就表明结点 vi 到 vj 可达。但这种计算比较繁琐，且 Al 不知计算到何时为止。从前面得知，如果有向图 G 有 n 个结点 V＝{v1, v2, … , vn} vi 到 vj 有一条路，则必有一条长度不超过 n 的通路，因此只要考察 aij(l) 就可以了，其中 1≤l≤n。对于有向图 G 中任意两个结点之间的可达性，亦可用可达矩阵。; 定义10.19 令 G＝V, E 是一个简单有向图， ，假定 V 的结点已编序，即 V＝{v1, v2, …, vn}，定义一个 n×n 矩阵 。其中 称矩阵 P 是图 G 的可??性矩阵。 ; 可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条路以及在任何结点上是否存在回路。 一般地可由图 G 的邻接矩阵 A 得到可达性矩阵 P。即令 Bn＝A?A2?…?An，在从 Bn 中将不为 0 的元素改为 1，而为零的元素不变，这样改换的矩阵即为可达性矩阵 P。 Warshall 算法可以由邻接矩阵求可达性矩阵 P。;【例10.7】求下图的可达性矩阵。;同理可证：; 可达性矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向图的每一条边看成是具有相反方向的两条边，这样，一个无向图就可以看成是有向图。无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。 对于一个无向图 G，除了可用邻接矩阵以外，还对应着一个称为图 G 的完全关联矩阵，假定图 G 无自回路，如因某种运算得到自回路，则将它删去。;定义10.20 给定无向图 G，令 v1, v2, …, vp 和 e1, e2, …, eq 分别记为 G 的结点和边，则矩阵 M(G)＝(mij)，其中 称 M(G) 为完全关联矩阵。;从关联矩阵中可以看出图形的一些性质： （1）图中每一边关联两个结点，故 M(G) 的每一列只有两个 1。 （2）每一行元素的和数对应于结点的度数。 （3）一行中的元素全为 0，其对应的结点为孤立点。 （4）两个平行边其对应的两列相同。 （5）同一图当结点或边的编序不同，其对应 M(G) 仅有行序、列序的差别。 当一个图是有向图时，亦可用结点和边的关联矩阵来表示。;定义10.21 给定简单有向图 G＝V,E，V＝{v1, v2, …, vp}，E＝{e1, e2,…, eq}