解析函数的罗朗展式与孤立奇点doc.doc

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 一、教学内容 双边幂级数，罗朗定理，解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式，孤立奇点的三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函数在无穷远点的性质，整函数与亚纯函数。 二、教学目的及重难点 1．? 了解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。 2．? 掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。 3．? 理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法。 4．? 掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。 三、课时安排（11学时） 1．解析函数的罗朗展式 3学时 2．解析函数的孤立奇点 3学时 3．解析函数在无穷远点的性质 2学时 4．整函数与亚纯函数的概念 1学时 5．习题课 2学时 四、作业题P218220习题（一）第1，2，3，5， 8，10题，其余为练习题。 思考题P220-224习题（二） §5.1 解析函数的洛朗展式 双边幂函数 考虑两个级数 前者是幂级数，故它在收敛圆内表一解析函数。对第二个级数做代换则它成为一个幂级数 设它的收敛区域为换回到原来的变数z即知（5.2）在内表一解析函数 当且仅当时，（5.1）及（5.2）有公共的收敛区域即圆环。这时，我们称级数（5.1）及（5.2）之和为双边幂级数。可以表示为 ， （5.3） 又以上讨论及定理4.10和定理4.13得 定理5.1 设双边幂级数（5.3）的收敛圆环为 则（1）（5.3）在H内绝对收敛且内闭一致收敛与 （2）函数在H内解析。 （3）函数=在H内可逐项求导P次（P=1.2….） （4）函数可沿H内曲线C逐项积分 2． 解析函数的洛朗展式 前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有 定理 5.2（洛朗定理）在圆环 : 内解析的函数必可展成双边幂级数 （5.4） 其中 （5.5） 为圆周，并且展式是惟一的（即及圆环惟一地决定了系数）. 注 定理5.2对应于定理4.14（泰勒定理）. 证 设为内任意取定的点，总可以找到含于内的两个圆周 使得含在圆环内 因为函数在闭圆环上解析，由柯西积分公式有 或写成 . （5.6） 我们将上式中的两个积分表为含有的（正或负）幂次的级数。 对于第一个积分，只要照抄泰勒公式定理4.14证明中的相应部分，就得 ， （5.7） （5.8） 类似地，考虑（5.6）式中的第二个积分 ， 我们有 当时， 于是上式可以展成一致收敛的级数 沿逐项积分，再以乘两端即得 （5.9） （5.10） 由（5.6），（5.7），（5.9）即得 回过头来考查系数（5.8）及（5.10），由复周线的柯西积分定理，对任意圆周：，有 = 于是系数可统一表成（5.5）. 因为系数与我们所取的根本无关，故在圆环内（5.4）成立. 最后证明展式的惟一性.设在圆环内又可展成下式： 由定理5.1知，它在圆周：上一致收敛。乘以沿上的有界函数，任然一致收敛，故可逐项积分得， 由例3.2即知等号右端级数中那一项积分为，其余各项为零，于是 与（5.5）比较，即知. 定义5.1 （5.4）称为函数在点的洛朗公式，（5.5）称为其洛朗系数，而（5.4）等号右边的级数则称为洛朗级数. 证明了洛朗展式的惟一性后，我们就可以采用一些常用的更简便的方法去求一些初等函数在指