数学物理方程(很好的学习教材)教学幻灯片.ppt

Part Ⅱ 数学物理方程;授课内容;Chap. 7 数学物理定解问题;物理量 u (Y,E,B,P…);§7.1 数学物理方程的导出;波动方程;波动方程;波动方程;扩散方程;输运方程;扩散方程和输运方程;稳定场方程;小 结;§7.2 定解条件;二、初始条件;初始条件;三、边界条件;三类线性边界条件;四、常见数学物理方程的定解条件;边界条件举例;注 意 事 项;一、科学分类方法;二、数学物理方程的一般分类; 如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程； 如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方程； 如果k1=k2=k3=1(or 0)，且k1，k2中至少有一个的值为1， 称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值 不等于1和0，则称为非线性微分方程； 如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f≠0，则称为非 齐次微分方程。 ;2元二阶线性微分方程的分类;推导过程;于是，方程化为：;取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方??可以简化。特解满足的方程为：;三、叠加原理;§7.4 达朗贝尔公式 定解问题;一、泛定方程的求解;二、达朗贝尔(D’ Alembert )公式;1）达朗贝尔公式的推导（求通解）;通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。;达朗贝尔公式的推导（求特解）;2）达朗贝尔公式的物理意义;若初始条件为：;3）达朗贝尔公式的应用;方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，;b) 无限长自由振动;c) 边界条件举例;三、定解问题是一个整体 一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。 四、定解问题的适定性 1）有解 2）解是唯一的 3）解是稳定的;本章小结;先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。;Chap.8 分离变数法;§8.1 齐次方程的分离变数法;驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为T(t)，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为X(x)。 于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：;1） 定解问题的分离变数;2）分离结果的求解; 时间方程：;;3）系数的确定;分离变量过程小结;我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。 用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。;二、典型问题的求解（波动方程）; 求解本征值问题：; 求解时间方程：; 代入初始条件，确定系数：;三、典型问题的求解（输运方程）; 方程求解：; 代入初始条件，确定系数：;思 考 题;四、稳定场问题的分离变数法;1）拉普拉斯方程（矩形区域）;分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次。; 根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：;分离变数：;代入非齐次边界条 件，确定系数;2）拉普拉斯方程（圆形区域）; 分离变数：; 方程的一般解：;导体带电荷 产生的电势;§8.2 非齐次振动方程和输运方程;典型问题的求解;;二、冲量定理法;冲量定理法的物理思想;(2);从定解问题（2）的初始条件可以看出，u(τ)必含有因子dτ，因此可以令： u(τ)(x,t) = v(x,t,τ)dτ，则定解问题变为，;例题2：求解定解问题;参照边界条件，把v展开为傅里叶余弦级数;Tn的解是;比较两边系数，得;回顾：非齐次方程的求解;例题3：求解定解问题;解关于T的常微分方程，得：;解法2：（冲量定理法）;§8.3 非齐次边界条件的处理;例题1：求解定解问题; 尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件 是齐次的。因此可以利用傅里叶级数法求解。 如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为;例题2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做谐振动 Asinωt，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。;由于求解的是弦在x=l端受迫做谐振动Asinωt情况下的振动， 从物理上分析，它一定有一个特解v(x,t)，满足齐次方程和非 齐次边界条件，且跟x=l端同步振动，即其时间部分的函数也 是Asinωt，于是特解可以表示成分离变数的形式，;这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数 法求解，其解为：;最后，所求的解为：;回顾拉普拉斯方程的求解;§8.4 泊松方程;* 在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程 可以