数学物理方程学习者的福利知识讲稿.ppt

主讲教师： 田德生 ; 参考书目 同济大学. 高等数学（第六版）. 高等教育出版社 谢树艺. 矢量分析与场论. 高等教育出版社 王元明. 数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社 杨华军. 数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社 ;0 预备知识; I场; 2.场的记法; II数量场的方向导数与梯度;Th1 如果u=u(x,y,z)在M0点处可微,则u在M0沿任 意方向的方向导数都存在, 且有;解:先求在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向余弦.;*; III矢量场的散度与旋度;2 旋度;*; IV 其他;数学物理方程与特殊函数; 研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。 ;第一章 概论;1.1 基本概念;微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程;例如;偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最高阶数;线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数） 非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程;线性偏微分方程分为常系数和变系数的两类 常系数的方程中未知函数及其所有偏导数都是常数；变常系数的方程中未知函数及其所有偏导数不全都是常数。 解(古典解) 若在某区域内一个函数及其各阶连续的偏导数满足某偏微分方程, 则称此函数为该方程在这个区域内的一个解(古典解).;例1.1.1 求函数u=u(x,y), 满足ux=y. 解 对方程两边求x的积分，得 u=xy+f(y) 这里f为任意可微函数.这个函数就是方程的通解.;1.1.2定解条件与定解问题;1.初值问题（Cauchy问题） 只有泛定方程和初始条件的定解问题。 2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。 注：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。 3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。;初始条件;热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为;边界条件;第三类边界条件：给出 u 以及 的线性组合 在边界的值，即;1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解； ; 1.1.4线性方程的叠加原理;称形如;;例 非齐次波动方程的Cauchy问??;叠加原理;1.2数学模型的建立;根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；;导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 ;例1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论： （1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) ;（3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数；;牛顿运动定律;;………一维波动方程;注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则;例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。;Kirchhoff 第一,二定律; 例3. 声学方程 ;注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为; 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。;;流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为;由于时间 , 和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得;若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为;二维热传导方程 ;在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 ; 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.;;;波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律,