有趣的几何复习课程知识讲稿.ppt

吹 气 球;以上现象显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”;拓扑［topology］，原意暗指和地形、地势相类似或有关的学科，曾译为形势几何学、连续几何学。1956年《数学名词》确定译为拓扑学，是按音直译的。;一、拓扑学的早期发展;有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 多面体的欧拉定理 四色问题 哥尼斯堡七桥问题 ;著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛(左图)．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到． 后来大数学家Euler研究了这个游戏．他用点代表陆地(两岸和岛)，用连结各点的线代表桥，得到上面的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．Euler证明它是不能一笔画成的． ;哥尼斯堡七桥问题;“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心的研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支，莱布尼兹最先提到它，称之‘位置几何学’，这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质。它不考虑长短大小，也不牵涉量的计算。但至今未有过令人满意的定义，来刻画位置几何学的课题和方法。”这一数学分支现代称为“拓扑学”;在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 有人说这是拓扑学的第一个定理。;著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”;四 色 问 题;凯利;1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰特两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰特的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 ;进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 ;上面的三个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些都是“拓扑学”的先声。 ;1895年庞加莱（Poincaré, 1854?1912）的著作《位置分析》开始了对拓扑学的系统研究，由于他奠基性的工作，拓扑学走上了宽广的道路，众多的数学家进入了这个领域，使得拓扑学称为本世纪最丰富多彩的一个数学分支，并成为近代数学的“新三高”（即抽象代数、拓扑学和泛函分析）;二、拓扑学的基本研究对象;拓扑学是研究图形经过拓扑变换后的不变性质的学科。这里的拓扑变换形象的说就是一种既不撕破、也不黏合、但允许将图形伸缩和弯曲的变换。上面三组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。 ;如果图形X通过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没有黏合变形为Y，则称两个图X和Y是拓扑等价或同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形。;简单曲面上的任一闭曲线总把它分割成两部分. 简单闭曲面把空间分成两部分即内部和外部，且以该曲面为这两部分的公共边界。另外这些曲面中的每一个都有两侧：外侧和内侧，这种双侧性在同胚下也是不变的。;单侧曲面——莫比乌斯带;是否存在单侧闭曲面呢？;单侧闭曲面;在1882年，著名德国数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈