重积分奇偶对称.doc

重积分计算中对称性的应用 二重积分的对称性质 一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下： 结论1：如果积分区域关于对称，则 结论2：如果积分区域关于轴对称，则 结论3：如果积分区域关于坐标原点对称，则 其中 结论4：如果积分区域关于直线对称，则 三重积分的对称性，可类似给出。 二、补充例题 利用二重积分性质，估计积分 的值，其中是图形区域： 解法1. 首先求在上的最小值和最大值 由于，，令，得驻点， 的边界，此时 ，， ， 解法2：由积分中值定理，在上至少，使 其中，且（） 求，其中 解： 如图，曲线把区域分为和，其中，； 证明（连续） 证： 左端=，，作出积分域交换积分顺序， 左端=右端，证毕！ 注： 本题还可这样证明： 令，证明 例4 设在区间上连续，且，试证明 证： 设平面区域，关于直线对称 计算，其中由，，围成。 解： 如图，作曲线，则积分区域被分为和，关于轴对称，关于轴对称。由于被积函数是的奇函数，故有，由于的奇函数，故有 计算，是由平面上曲线绕轴旋转所得平面 ，所围区域。 解： 旋转面方程为，积分区域 注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦! 设函数连续，，其中 ，试求和 解： 在平面上投影为圆，于是 当时有： 当时有： 且时，有，所以 从而 求曲面在点的切平面与曲面所围立体的体积 解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在平面上投影区域 由于切平面的法向量是，切平面方程： ，即 从而切平面与曲面的交线是，消去，可得投影，注意到在上，，所以 设半径为的球面的球心在定球面上，问当取何值 时，在定球面内部的那部分的面积最大？ 解： 可???的方程为，从而两球面的交线是 ，于是的方程为 在在投影为 的面积为 ，得驻点， ， 当时，的面积最大。 有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点密度与驻 点到距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心位置。 解法1： 证所考虑的球体为，以的球心为原点O，射线为正轴建立直角坐标系，则点的坐标为球面方程为 设的重心位置为，由对称性得：，， ， 而 因此球体的重心位置为。 解法2：设所考虑的球体为，球心为，以定点为原点，射线为正轴建立直角坐标系，则球面方程为：。 设的重心位置为，由对称性得：，， 而 故，因此球体的重心位置为。