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一维离散傅立叶变换（DFT） 一维离散傅立叶变换 一维离散傅立叶变换 一维离散傅立叶变换 物理意义：将空域图像转换到频域处理。 是图像滤波、图像复原、图像重建以及图像形状分析等应用的理论基础。 二维DFT Properties of the Fourier Transform 3.移位性The Shift Theorem 频域移位——频移性 空域移位——平移性 频移性 f(x,y)exp[j2?(u0x+v0y)/N]?F(u-u0 ,v-v0) 应用：频谱中心化 当u0=v0=N/2时， exp[j2?(u0x+v0y)/N]=(-1)x+y ， 则 f(x,y) (-1)x+y ?F(u-N/2,v-N/2) 频谱原点移到中心 说明将f(x,y)乘以一指数项，相当于把其变化后的频域中心移到新的位置。 平移性 f(x-x0,y-y0) ?F(u,v)exp[- j2?(ux0+vy0)/N]. |F(u,v)exp[j2?(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)| 说明将F(u,v)乘以一指数项，相当于把其反变换后的空域中心移到新的位置。 图像平移不影响傅立叶变换的幅值 9. 均值The Average 12. 相关定理Correlation Theorem FFT与DFT运算量的比较 一维DFT 乘法次数：N2 加法次数：N（N-1） 一维离散FFT（时域抽取法基2FFT算法） 乘法次数：N/2Log2N 加法次数：NLog2N DFT/FFT= N/（1/2Log2N） 例： N=1024时为204.8 N越大节省的运算量越大 尺度变换 相加性 平移性 旋转性 一维采样定理：如果f(x)为带宽有限的连续信号，其频谱F(j?)的最高频率为fm，则以取样间隔Ts≤1/2fm对信号进行等间隔取样所得的取样信号fs(t)将包括原信号f(t)的全部信息，因而可以从fs(t)完全恢复出原信号。 二维采样定理：对二维有限带宽的连续信号f(x,y)，采样间隔必须满足：Δx ≤ 1/2fxc ， Δy ≤ 1/2fyc 这样才能保证信号可以重构。 Δx 、Δy 是x,y两个方向的采样间隔，fxc 、fyc分别是信号在x轴、y轴的截止频率。 特例：2维DFT及其IDFT是可分离和对称的。以 2D-DFT为例 具有可分离变换核的二维变换的重要特点 所有具有可分离核的二维变换与离散Fourier变换一样，可以分成两个一维变换分步进行。 沿着f(x,y)的每一列作一维变换，得到： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ,v=0,1,…,N-1 沿着T(x,v)的每一行作一维变换，得到 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｕ,ｖ=0,1,…,N-1 4.4 离散余弦变换 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT） DCT信号压缩性能比DFT好，是JPEG图像等压缩标准的基本推荐算法。 RGB=imread(128px-Baboon24.png); %装入真彩色图像 subplot(131); imshow(RGB); GRAY=rgb2gray(RGB); %将真彩色图像转换为灰度图 subplot(132); imshow(GRAY); DCT=dct2(GRAY); %进行离散余弦变换 subplot(133);; imshow(log(abs(DCT)),[]); %显示离散余弦变换 4.5 沃尔什和哈达玛变换 例：已知二维数字图像f，求其DWT。 解： 例 设图像目标区域由四个像素构成 第四章 图像变换小结 图像变换的定义（目的） 图像变换——将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这种转换方法——图像变换。 图像变换的分类 二维DFT的物理意义：空域 频域 二维DFT的应用：是图像滤波、图像复原、图像重建以及图像形状分析等应用的理论基础。 二维DFT定义： 二维DFT的性质 二维可分离图像变换的概念 可分离 对称的 二维可分离图像变换的的重要特点 DCT信号压缩性能比DFT好，是JPEG图像压缩标准的基本推荐算法。 DCT定义： 二维哈达玛变换的定义： Hadamard变换核矩阵具有递推关系： 霍特林（Hotelling）变换是一种基于图像统计特性的变换 霍特林变换又称特征向量变换、主分量变换、离散KL变换。 应用 数据压缩 图形旋转 模式识别 霍特林变换的性质、缺点、作用 练习 1、设有2-D函数f(x,y) ，f(0,0)