2.1 矩阵的概念教材课程.ppt

* §2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 §2.3 逆矩阵 §2.4 分块矩阵 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩 本章的主要内容 * 矩阵是线性代数的主要研究对象之一, 是现代科 技理论及现代经济理论中不可缺少的数学工具. 本章主要介绍矩阵的基本概念及其运算, 为今后利 用矩阵工具研究线性方程组以及矩阵理论的进一步 展开做好准备. * 一.矩阵的概念 二.几种特殊的方阵 四.小结与思考题 §2.1 矩阵的概念 三. 矩阵的应用实例 * 1. 矩阵的概念的引入 (1) 线性方程组 的解取决于 方程组系数 (*) 常数项 一.矩阵的概念 * 注1 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 * (2) 某航空公司在 A , B , C , D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从 A到 B 有航班,则用带箭头的线连接 A与 B. 四城市间的航班情况常用表格来表示: * 2. 矩阵的定义 定义2.1 记为 * 简记为 矩阵中的m×n个数 称为矩阵A的元素, 简称为元. 它的两个下标表明了元素所在的行与列. 矩阵A的 m行n列下标 * 一般我们研究实矩阵: 元素是实数的矩阵. 例1 是一个2×4阶矩阵; 是一个3×1阶矩阵;一般称为列矩阵 是一个1×4阶矩阵;一般称为行矩阵 是一个1×1阶矩阵. 如 特别的称单独的一个数 此时矩阵A可看成与普通的数a11相同, 即A = a11. * 如果矩阵A中的行数与列数相同, 即当 m = n 时, 称矩阵A为 n 阶方阵或 n 阶矩阵, 即 * 是一个 3 阶方阵. 例2 主对角线 次对角线 * 当 m×n 阶矩阵的所有元素都是零时, 称为零矩阵, 记为 分别称为二阶零矩阵和3×5阶零矩阵. 显然零矩阵是不唯一的. 注2 两个行数和列数不同的零矩阵是不同的. 或 例如： * 把矩阵 A 的所有元素 aij 改变符号而得到的矩阵, 称为A 的负矩阵, 记为 －A = (－ aij ). * 形如 称为单位矩阵 全为1 的方阵, 或简称单位阵. 注3 单位矩阵是主对角元素全为1, 其余元素都为 零的方阵. 二.几种特殊的方阵 1. 单位矩阵 * 2. 对角阵 形如 不全为0 称为对角矩阵(或 对角阵).记作 的方阵, * 注4 对角阵是主对角元素不全为零, 其余元素都为零的方阵. 特别地， 主对角线上的元素全为非零常数k, 其余 元素全为零的方阵称为数量矩阵.即 * 3. 三角矩阵 形如 的方阵都称为三角矩阵. 前者称为上三角矩阵，后者称为下三角矩阵. * 4. 对称矩阵 形如 的方阵称为对称矩阵. * 5. 反对称矩阵 形如 的方阵称为反对称矩阵. * 三.矩阵的应用实例 例3 (通路矩阵) a省两个城市a1 , a2和 b 省三个城市 b1, b2 , b3的交通连结情况如图. 每条线上的数字表示连 结该两城市的不同通路 总数. 由该图提供的通 路信息, 可用矩阵形式 表示, 称之为通路矩阵. *