2.哥尼斯堡七桥问题培训课件.ppt

哈里发的题目是这样的：请用线把下图中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交，也不许与图中的线相交 上述问题的解决，似乎不费吹灰之力。但实际上求婚者们全都乘兴而来，败兴而去！ 据说后来哈里发终于醒悟，发现自己所提的问题是不可能实现的，因而后来又改换了题目。也有的说，哈里发固执已见，美丽的公主因此终生未嫁。事情究竟如何，现在自然无从查考。 哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以证明的。其所需之概念，只有“内部”与“外部”两个。事实上，我们很容易用线把①一①、②一②连起来。明眼的读者可能已经发现：我们得到了一条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部的③，画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！这正是哈里发悲剧之所在。 点A 是在内部还是外部 问题： 沿中间将莫比乌斯带剪开会出现什么情况？ 问题： 再次沿中间剪开会出现什么情况？ 不分内外的“克莱因瓶” 拓扑魔术奇观 * * 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡七桥问题 现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。 哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北区(D)。 著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步。 早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次? 这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。 这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！ 如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因为各种可能的线路有 =5040种。要想一一试过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！ 公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文的开头是这样写的： “讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……” 接着，欧拉运用他那娴熟的变换技巧，如同下图，把哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的，简单的几何图形的“一笔画”问题：即能否笔不离纸，一笔画但又不重复地画完以下的图形？ 不难发现：右图中的点A、B、C、D，相当于七桥问题中的四块区域；而图中的弧线，则相当于连接各区域的桥。 想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题，竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串”字和“田”字这类问题一样。 聪明的欧拉，正是在此基础上，经过悉心研究，确立了著名的“一笔画原理”，从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。 一笔画原理： 一个图如果可以一笔画成，那么这个图中奇数顶点的个数不是0就是2。 下图画的两只动物世界的庞然大物，都可以用一笔画完成。它们的奇点个数分别为0和2。这两张图选自《智力世界》一刊，也算一种别有风趣的例子。 需要顺便提到的是：既然可由一笔画画成的脉络，其奇点个数应不多于两个，那么，两笔划或多笔划能够画成的脉络，其奇点个数应有怎样的限制呢？我想，聪明的读者完全能自行回答这个问题。 一般地，我们有： 含有2n(n0)个奇点的脉络，需要n笔划画成。 问 题 在哥尼斯堡七桥问题中再加进去一座桥，会怎么样？ 橡皮膜上的几何学 在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者已经看到了一种只研究图形各部分