特级教师高考数学首轮复习第37讲-空间几何体的表面积与体积.docx

一、知识结构二、重点叙述1. 空间几何体的表面积：(1)求空间几何体表面积的方法:沿多面体的棱或旋转体的母线剪开,把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积。将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题基本的、常用的方法.(2)具体步骤:先求侧面积,再求全面积。①棱柱、棱锥、棱台的侧面积:棱柱的侧面展开图是平行四边形;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的。②圆柱、圆锥、圆台的侧面积:??? ⑴圆柱侧面积:圆柱的侧面展开图是一个矩形。如果圆柱的底面半径为r,母线长l,那么圆柱的侧面面积为2πrl。因此,圆柱的表面积S=2πr2 +2πrl=2πr(r+l)。????????? ?????? ????????⑵圆锥侧面积:圆锥的侧面展开图是一个扇形。如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么圆锥的侧面积为。因此,圆锥的表面积S=πr2 +πrl=πr(r+l)。⑶圆台侧面积:圆台的侧面展开图是一个扇环。如果圆台的上下底的半径分别为,母线长为l,那么圆台的侧面积为。因此,圆台的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即S=π(r2 +r′2 +rl+r′l).⑷圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系:??? 圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体。圆柱可以看作是上下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台,于是:S圆柱表 =2πr(r+l)S圆台表 =π(r1 l+r2 l+r12 +r22 )S圆锥表 =πr(r+l).即圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来。2. 空间几何体的体积：(1)柱、锥、台的体积:①柱体体积:柱体的体积是V=Sh,其中S是底面面积,h为柱体的高。特别地,棱长为a的正方体的体积V=a3 ;长、宽和高分别为a,b,c的长方体的体积为V=abc;底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2 h。②椎体体积:锥体的体积是V=,其中S是底面面积,h为锥体的高。特别地,底面半径为r高为h的圆锥的体积是V=。③台体体积:由于台体是由椎体截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到台体的体积公式V=(S′++S)h,其中S′,S分别为上、下底面面积,h为台体的高。特别地,底面半径为高为h的圆台的体积是V=。④柱体、椎体、台体体积的关系:柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体。当S′=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式。它们之间的体积关系为:(2)球的体积和表面积:一般地,如果球的半径为R,那么球的体积为V=,表面积为S=4πR2。3. 简单组合体的表面积和体积：将简单组合体分解化归柱、锥、台、球等常见的简单几何体,依所分解的柱、锥、台、球等常见的简单几何体的侧面积、全面积、体积公式计算,进而组合而得到所求简单组合体的表面积或体积。三、案例分析案例1：（2009宁夏海南·理11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（??）（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24?分析：先根据棱锥的三视图画成棱锥的直观图，进而计算棱锥每个面的面积，相加算得棱锥的全面积。注意棱锥三视图的高是棱锥的高，并不一定是棱锥侧面三角形的高，而计算棱锥的侧面积一定要求得棱锥侧面三角形的高。解：由棱锥的三视图得棱锥的直观图如下：??∵取中点，连接，，∴，∴，同理取中点，连接，∴。∵，∴。∴。故选A。案例2：（2009全国Ⅱ·理15）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________________ 分析：要求球的表面积，关键是求得球的半径。抓住如图的球截面，显然，，垂足为，解直角求得半径。??解：如图，设球O的半径为。∵圆C的面积等于，，∴。∵OA是球O的半径，M是OA的中点，∴，又截面圆C与OA成45°角，∴。在直角中，由勾股定理得，即，解得。∴球O的表面积为。案例3：（2009辽宁·理11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（A）1：1(B) 1：2(C) 2：1(D) 3：2?分析：根据空间几何的等体积变换原理，由于G是PB的中点，故。设AC与BD相交于H，则三棱锥D－GAC与三棱锥B－GAC体积之比等于，从而转化为在底面正六边形ABCDER中解决的问题。解：如图正六棱锥中，∵G是PB的中点，∴。∴三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比等于三棱锥D－GAC与三棱锥B－GAC体积之比。????设AC与BD相交于H，则三棱锥D－