高数课件16.ppt

不定积分的概念及其性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的简单计算 小结 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、 不定积分的性质 四、 小结 * 例 (一)原函数 定义5.1： 1. 2.原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 (二)不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 例1 求 解 解 例2 求 例3 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: = = 由此可知： +C, +C. （三） 不定积分的几何意义 求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C. y=F(x) y=F(x)+C x 斜率f(x) 例4 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点(1, 2) 所求曲线方程为 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 积分运算和微分运算是互逆的, 因此, 对每一个 导数公式都可以得出一个相应的积分公式。 将基本导数公式从右往左读, (然后稍加整理)可以得出基本积分公式(基本积分表). 基本积分表 ? 是常数); 基本积分表 ? 求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简——将所求积分化为基本积分表中的积分。 解 根据幂函数的积分公式 例9 求 （恒等变形法） 注: 性质(1)可推广到有限多个函数之和的情形 例10 求积分 解 例11 求积分 解 例12 求积分 解 例13 求积分 解 基本积分表 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系