2.2线性代数讲解.ppt

证明 2.2 行列式计算 * §2 方阵行列式的性质 性质1 方阵A与其转置矩阵 的行列式值相等.即 §2 方阵行列式的性质 2.1 行列式的性质 证明 按定义 性质1 方阵 与其转置矩阵 的行列式值相等. 即 则A的转置矩阵为 设为 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2　行列式具有分行（列）可加性，即 或 即 于是，由行列式定义 证明 设 即如果行列式某一行(列)的各元素都是两数之和,则可把这个行列式化为两个行列式之和. 注意 两个矩阵相加与两个行列式相加的区别 性质3 若方阵 A 的第i行(列)k倍所得的矩阵为B 则 ，即 证明 注意 数乘矩阵与数乘行列式的区别 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 若方阵 经过一次换法变换化为 ,则 (即交换行列式的任意两行(列)，行列式的值仅改变符号) 证明 例如 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 推论2　行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 证明 性质5　消法变换不改变行列式的值. 即若 也就是 把行列式中的某一行（列）的各元素都乘以数k加到另一行（列）的对应元素上去,行列式的值不变. 则 或 即 性质2 等于零 定理 设A,B为n阶方阵， 为常数,m为正整数，则 ⅱ) ⅲ) 证明 （只证明ⅱ）成立 ） 设 ⅰ) 记 阶行列式 以 乘第1列， 乘第2列， ， 乘第 列，都加到 第 列上 ，有 其中 故 （1） 再对（1）式进行 次换法变换： 则 于是 注意 对于n阶方阵A,B，一般来说 但是 一般 例1 利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式，从而易得行列式的值． 计算行列式常用方法： 解 例2 计算n阶行列式 解 将第 都加到第一列得 行和相等行列式