2012年3月立体几何专训题.docx

立体几何特训题一、锥体问题例1、如题(19)图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(Ⅰ) 求直线AD与平面PBC的距离；(Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．二、柱体问题例2、如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,求异面直线与所成角的余弦值；证明平面求二面角的正弦值。三、折叠问题例3、如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。四、其它多面体例4、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD （I）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （Ⅱ）(II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。立体几何练习题1．如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积．2、已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点． （Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积．3、如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．4、如图5所示，在正方体，E是棱的中点。（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（II）在棱上是否存在一点F，使BF1∥平面A1BE？证明你的结论。5、如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。（Ⅰ）证明：平面⊥平面；（Ⅱ）设。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（ⅰ）当点在圆周上运动时，求的最大值；（ⅱ）记平面与平面所成的角为（0°＜≤90°）。当取最大值时，求的值。6、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ABCD，NB垂直于ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点 （I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值； （II）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由7、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分8、如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF＝，且AC = CB = 4，将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－，BP⊥平面，点P为垂足.（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值. （第20题图）立体几何特训题一、锥体问题例1、如题(19)图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(Ⅰ) 求直线AD与平面PBC的距离；(Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．解法一：（I）如答（19）图1，在矩形ABCD中，AD//BC，从而AD//平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.在中，PA=AB=，所以（II）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而在中，为等边三角形，故F为CE的中点，且因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知，从而且G点为AC的中点.连接DG，则在所以解法二：（I）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.设D（0，a，0），则.因此则，所以AE⊥平面PBC.又由AD//BC知AD//平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为（II）因为设平面AEC的法向量又所以可取设平面DEC的法向量又故所以故所以二面角A—EC—D的平面角的余弦值为二、柱体问题例2、如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,求异面直线与所成角的余弦值；证明平面求二面角的正弦值。方法一：如图所示，建立空间直