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材料力学（Ⅰ） 第 8 章 应力、应变状态分析 第 8 章 应力、应变状态分析 §1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 应力圆 §4 平面应力状态的极值应力与主应力 §5 复杂应力状态的最大应力 §6 平面应变状态 应变分析 §7 各向同性材料的应力应变关系 §8 复杂应力状态下的应变能 §1 引言 ? 实例 ? 应力与应变状态 ? 平面与空间应力状态 ? 问题提出：实例 ? 应力与应变状态 ? 平面与空间应力状态 §2 平面应力状态应力分析 ? 斜截面应力分析 ? 例题 ? 斜截面应力分析 §3 应力圆 ? 应力圆 ? 应力圆的绘制与应用 ? 例题 ? 应力圆 ? 应力圆的绘制与应用 ? 应力圆的绘制与应用 图解法求斜截面应力 ? 例题 §4 平面应力状态的极值应力与主应力 ? 平面应力状态的极值应力 ? 主平面与主应力 ? 纯剪切应力与扭转破坏 ? 例题 ? 平面应力状态的极值应力 ? 主平面与主应力 ? 纯剪切应力与扭转破坏 §5 复杂应力状态的最大应力 ? 三向应力圆 ? 最大应力 ? 例题 §6 平面应变状态应变分析 ? 任意方位的应变 ? 应变圆 ? 最大应变与主应变 ? 例题 ? 任意方位的应变 ? 应变圆 ? 最大应变与主应变 §7 各向同性材料的应力应变关系 ? 广义胡克定律 ? 主应力与主应变的关系 ? 例题 ? 广义胡克定律 ? 主应力与主应变的关系 §8 复杂应力状态下的应变能 ? 应变能密度一般表达式 ? 体应变 ? 畸变能密度 ? 应变能密度一般表达式 ? 体应变 ? 畸变能密度 将主应力分解 另一方面，由于 综合 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关 结论 ? 任一方位应变： ? 垂直方位切应变： 互垂方位的切应变数值相等，符号相反 切应变为零方位的正应变－主应变 主应变位于互垂方位 主应变表示：e1? e2 ? e3 例 6-1 图示应变花，由实验测得0o, 45o与 90o方位的应变分别为e0 , e45 与e90 ，求 ex , ey 与 gxy 解： 1 2 3 横向变形与泊松比 --泊松比 y x 广义胡克定律（平面应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内 广义胡克定律（三向应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内 广义胡克定律（三向应力状态）(主应力) 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内 s1 s2 s3 ? 主应变与主应力的方位重合 ? 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位 ? 最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 ? 0，且因 m 1/2，则 例 7-1 对于各向同性材料，试证明： 证： ? 根据几何关系求e45。 ? 根据广义胡克定律求 e45。 ? 比较 例 7-2 边长为a =10 mm的正方形钢块，放置在槽形刚体内，F = 8 kN，m = 0.3，求钢块的主应力 解： 例 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩M，可沿轴向及与轴向成45°方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45°方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 GPa,泊松比?=0.3。试求F和M的值。 F M M F K u u 45° 解： （1）K点处的应力状态分析 在K点取出单元体： K 其横截面上的应力分量为： （2）计算外力F 由广义胡克定律： 解得： （3）计算外力偶M 已知 式中 K u 由 解得： 因此 单位体积内的应变能－应变能密度 微体的体积变化率－体应变 其中， 体积弹性模量 主应力的平均值(静水压力) 体积改变形状不变 形状改变体积不变 相应的应变能密度－畸变能密度 vd 在平均应力 sav 的作用下，各边的线应变为 这时，微元体只有体积的改变，而没有形状改变。体积比能 vV 为 所以，在应力s?i的作用下，微元体没有体积的变化，而只存在形状变化。根据应变能公式，形状改变比能vd为 谢 谢 ! 主平面位置（方向角）的确定： ty sx sy tx t? s? o A D B E ? B ? E 2α0 D C A 应力状态分类 ? 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 ? 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 ? 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 二向与三向应力状态，统称复杂应力状态 纯剪切状态的最大应力 圆轴扭转破坏分析 滑移与剪断发生在tmax的作用面 断裂发生在smax的作用面 解：1. 解析法 例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与