数值分析华理试题.doc

数值计算方法试题一 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（　　　　　）。 3、已知是三次样条函数，则 =( 　 )，=（ 　 ），=（　 ）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( 　 )，当时( )。 5、设和节点则 　 和　　　　　　。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 　　 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 　　　　 。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 　　　 。 8、给定方程组，为实数，当满足　　　　　　，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 　　　阶方法。 10、设，当（ 　　　 ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ 　　 ）条件时，这种分解是唯一的。 二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ 　　 ）。 （1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 　 ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）， （2）， （3）， （4）， 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ 　　 ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ 　　 ）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据： 19 25 30 38 19.0 32.3 49.0 73.3 2、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时， (1)??? 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）?????? 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）?????? 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、? 数值积分公式形如 （1）?????? 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、? 用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） 　１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。　（　　　　　） ２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（　　　　　） 3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （　　　　　） ４、矩阵的２－范数＝９。（　　　　　） 5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用） （ ） 6、设，，且有（单位阵），则有。（ ） 7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（ ） 8、对矩阵A作如下的Doolittle分解： ，则的值分别为2，2。（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分） 1、设，则均差 __________，__________。 2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。 ３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。 4、向量,矩阵，则 __________，__________。 5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。 6