第八章椭圆教案.doc

8.1 椭圆及其标准方程 1 .椭圆定义： 平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定; （3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（趋向于线段）；两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（趋向于圆）。由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关． ? 求动点轨迹方程的一般步骤：坐标法 （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 P（M）；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；（4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明) 2.椭圆的标准方程：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” 焦点在x轴： 焦点在y轴： 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆x2项分母较大；焦点在y轴的椭圆y2项分母较大。 练习：1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； （2）两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点； （3）经过点P(－2,0)和Q(0,－3). 2. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆，则m的取值范围是(0,4) 3. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(1,2) 小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值. 8.2 椭圆的几何性质 1.范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 2.对称性： ①从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。 ②从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线及其中垂线，与坐标无关。 3.椭圆的顶点 ①顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点，即（-a，0），（a，0），（0，-b），（0，b）。一般二次曲线的顶点即是曲线及其对称轴的交点。 ②长轴：线段A1A2叫做椭圆的长轴，长为2a，a叫做椭圆的长半轴。 短轴：线段B1B2叫做椭圆的短轴，长为2b，b叫做椭圆的短半轴。 4.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。 注意：①离心率的取值范围：0e1 ②离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近 1，椭圆就越扁；2）e 越接近 0，椭圆就越圆。 ③e与a,b的关系: ④离心率只与椭圆的形状有关，与椭圆的大小，位置及焦点在哪一条坐标轴上无关。 5.椭圆的第二定义：平面内的动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线L的距离的比是常数e，当0e1时的动点的轨迹叫椭圆，定点F叫椭圆的焦点，直线L叫椭圆的准线。 对于椭圆，相应与焦点的准线方程是，由椭圆的对称性,相应与焦点的准线方程是 第二定义的“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率 的准线是x= ； （ab0）的准线是y= 注意：①； ②中心到准线的距离：，两准线间距离：；焦点到相应准线间距离：，焦点到相对准线间距离：+；长轴顶点到相应准线间的距离：：长轴顶点到相对准线的距离： 6.焦点弦：由焦半径引申过来的，是指过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为 7.椭圆的参数方程 椭圆上的点可以引入一个参数表示，即，我们把这个方程叫做椭圆的参数方程。 练习1：将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程: 例 如图，以原点为圆心，分别以a、b(ab0)为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 解：设点为始边，为终边的正角，为参数，则 ， ，（为参数