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第2章  方程求根 第2章 方程求根 §1 二分法 §2 迭代法 §3 切线法(牛顿法) §4 弦截法 §5 加速迭代法  §2.3 二分法 (Bisection Method ) 一、理论基础 若 f(x)在区间[a, b]单调连续，且 f (a) · f (b) 0，则f(x)在区间[a, b]上有且仅有一个实根。 总结： 令x0= 计算f(a)与f(x0)，若 ? f(a)·f(x0)＜0 ? 则根x∈(a,x0)，令 a1=a,b1=x0 否则x∈(x0,b)，令a1=x0,b1=b 如此逐次往复下去,便得到一系列有根区间 (a0,b0),(a1,b1),(a2,b2),…,(ak,bk),… x0, x1, x2 , …, xk,… 例1 求方程 ? f(x)=x3-x-1=0 ?在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数计算,精确到ε=0.5×10-2。 解 这里 a=1,b=1.5,由于f(1)0,f(1.5)0,故f(x)在此区间有根。 取区间(1,1.5)的中点 由于f(1)＜0,f(1.25)＜0,则令 ?a1=1.25, b1=1.5 ?得到新的有根区间(1.25,1.5)，见下表 例1 求方程 ? f(x)=x3-x-1=0 在区间(1,1.5)内的根。若用二分法，则经过多少次分半求得的近似根误差不大于0.5×10-2。 3. 优缺点 优点：计算过程简单,程序容易实现。可在大范围内求根。 缺点：收敛慢，其收敛速度仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同。 不易求偶数重根和复根 一般用于求根的近似值而后在用其它的求根方法 §2.4 单个方程的迭代法 一、基本思想 二、收敛定理 设方程x=g(x)在(a,b)内有根x*， 若1)、g(x)满足李普希茨(Lipschitz)条件:即对(a,b)内任意的x1和x2都有 , q为某个确定的正数。 注： 要验证g(x)是否满足李氏条件一般比较困难,若g(x)可微,可用充分条件 来代替。这里q＜1是非常重要的条件,否则不能保证迭代收敛。 例2 求方程 x=e-x 在x=0.5附近的一个根。按五位小数计算,计算结果 的精度要求为ε=10-3。 解 过x=0.5以步长h=0.1计算 f(x)=x-e-x 由于 f(0.5)＜0,f(0.6)＞0 故所求的根在区间(0.5,0.6)内,且在x=0.5附近 四、优缺点 优点：算法的逻辑结构简单,且在计算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。 练习 1、将一元非线性方程 2cosx-ex=0 写成收敛的迭代公式，并求其在x0=0.5附近的根（精确到10-3，保留6位小数）。 §3 切线法(牛顿法) (Newton Method ） 切线法是求解非线性方程的一种重要迭代方法 例3 用切线法求方程 xex-1=0 的根(取五位小数计算) 。 解：该方程等价于f(x)=x-e-x=0，故 则 取x0=0.5,迭代结果如表2―4所示。 六、优缺点 优点：收敛速度快 缺点：1、计算量偏大，需要计算导数 2、选定的初值要接近方程的解 （局部收敛） §4 弦截法 切线法迭代简单,收敛速度也较快,但就是需要计算导数f′(x),有时使用会带来麻烦。 这一节介绍的弦截法就避