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大学生数学竞赛参考习题答案 x 1．函数 ( ) 在(−∞,+∞) 内连续，且 lim f (x) 0 ，则常 f x bx a +e x →−∞ 数a ，b 满足（D ） （A ）a 0,b 0 ； （B ）a 0,b 0 ； （C ）a ≤0,b 0 ； （D ）a ≥0,b 0 . x 解：要使f (x) 在(−∞,+∞) 内连续，必须保证f (x) 的分母没 bx a +e 有零点，故要求a ≥0 ，从而排除（A ）和（C ）. 但当b 0 时，因为 lim ebx 0 ，这时（B ） x →−∞ 使 lim f (x) ≠0 ，所以排除（B ），故应选（D ）. x →−∞ ⎧f (x) ⎪ ,x ≠0, ′ 2 ．设F (x) ⎨ x 其中f (x) 在x 0 处可导，f (0) ≠0 ， ⎪⎩f (0),x 0. f (0) 0 ，则x 0 是F (x) 的 （B ） （A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点；（D ）连续点或间断点不能由此确定. 解：∵F (0) f (0) 0 ，而 f (x) f (x)−f (0) ′ lim F (x) lim lim f (0) ≠0 ， x →0 x →0 x x →0 x −0 ∴lim F (x) ≠F (0) ，∴x 0 是F (x) 的第一类间断点. x →0 ⎧1−cosx ⎪ , x 0, 3 ．f (x) ⎨ x 其中g (x) 是有界函数，则f (x) 在x 0 处 ⎪ 2 x g x x ⎩ ( ), ≤0, 1 （D ） （A ）极限不存在； （B ）极限存在但不连续； （C ）连续但不可导； （D ）可导. 1 cosx − −0 1 2 x ′ x 2 解：f +(0) lim lim 0 ，（等价无穷小代换） x →0+ x −0 x →0+x x 2 ′ x g (x)−0 f −(0) lim lim xg (x) 0 （有界函数乘无穷小）， x →0− x −0 x →0− 故 f ′(0) 0 ，应选（D ）. 2 4 ．设f