平潘京生 建模教学教程文件.ppt

第一章 引言;数学模型 (Mathematical Model) ;1.2 数学建模的发展概况;受此影响，世界各国也陆续开设了数学建模课。我国由八十年代初开始开设，国内第一本数学建模教材由87年高教出版社出版，并于1992年开设出现我国一年一度的大学生数学建模竞赛。随着教学改革的发展和深入，随着全国大学生数学建模竞赛活动的蓬勃开展，极大地推动了数学建模活动在我国高校中的推广与普及，同时也大大地促进了数学建模课程教学向纵深方向发展。作为数学教学改革的成果，作为培养高素质人才和提高大学生综合素质的一个重要环节，国家教育部已将此课程列为数学类专业的必修课程，并作为选修课鼓励面向理工科大学生开设。实践证明，这门课程的开设对学生应用数学和计算机技能的训练，对学生“用数学”分析问题、解决实际问题能力的培养，对大学生的综合素质的提高，起到了很好的作用，深受学生们的欢迎。; 数学建模作为一门课程开设，首先是社会发展的需要。由于数学理论和方法不断地向各学科各领域的渗透，产生了大量的交叉学科和理论，并在社会的诸多方面发挥了重要作用。这种渗透和作用是数学建模的结果。于是数学建模成了人们研究和解决问题的基本方法。 ; 第三是人才培养、能力培养的需要。它通过向学生展示了各种不同实际领域中的数学建模，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与实践，培养了学生们“用数学”的意识，培养了学生们应用数学知识分析和解决实际问题的能力，使他们认识到了数学建模是人类观察与认识世界的一种独特而有效的方法，它为创造性地研究自然和社会的各种问题提供了有力的理论基础和方法论指导。从而大大提高学生学习数学的积极性，培养了他们的创新意识和创新能力。;1.3 数学建模的基本步骤;示例1：哥尼斯堡（K?nigsberg）七桥问题．18世纪时，在哥尼斯堡城的普雷格尔（Pregel）河上，有7座桥把河的两岸和河中的岛连接了起来，如图1.1所示． ;建模 既然岛与陆地是桥梁连接，那么就不妨把4块陆地缩小（抽象）成4个点，并把7座桥表示（抽象）成7条边，便得到了七桥问题的模拟图，如下图???示． ;进一步，欧拉考查了一笔画的结构特征，除起始点与终点外，一笔画中出现的交点处的边总是一进一出，故交点所涉及边的总和为偶数，由此欧拉给出了结论： ;示例2：放射性废物的处理问题．人类在利用核能的同时也产生了大量的核废料，如何处理这些核废料是人类所面临的难题．某国的原子能机构曾这样处理放射性废物，他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后把它们扔到水深300ft的海里．这种做法是否会造成放射性污染，很自然地引起了生态学家及社会各界的关注．该机构一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，这种做法是绝对安全的．然而一些工程师们却对此表示怀疑，他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂． ;模型建立 那么圆桶在沉入300ft深的海底时，其末速度究竟有多大哪？工程师们建立了以下微分方程模型．取一个垂直向下的坐标，并以海平面为坐标原点（y=0）．于是根据牛顿第二定律，圆桶下沉时应满足微分方程 ;由已知数据可计算出圆桶的极限速度 ;进一步微分方程可以改写成 ;示例3：汽车刹车距离．为了避免两车追尾及其它交通事故，我们来考虑汽车的刹车距离问题． ;模型假设 基于上述分析，作以下假设 ;速率(英里/小时);下图给出了实际刹车距离和计算刹车距离的比较 ;模型应用 根据计算距离，我们可以计算出刹车时间 ;模 型 准 备;模型 求解;数学建模的全过程;以上步骤并不是一个标准，但一般是可以接受的．各步没有固定的规则，各步间也没有明显的界限，需要我们发挥分析、抽象、推理、洞察、想象能力．建模主要依靠个人的能力和团体的合作，而不是依靠固定的规则和标准．