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0315数论第一章习题 河北师范大学
例2 设a0, a1, ?, an?Z,f(x) = anxn ? ? ? a1x ? a0 ,已知f(0)与f(1) 都不是3的倍数,证明:若方程f(x) = 0有整数解,则 3?f(?1) = a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1)nan 解 对任何整数x,都有 x = 3q ? r,r = 0,1或2,q?Z。 (ⅰ) 若r = 0,即x = 3q,q?Z,则 f(x) = f(3q) = an(3q)n ? ? ? a1(3q) ? a0 = 3Q1 ? a0 = 3Q1 ? f(0), 其中Q1?Z,由于f(0)不是3的倍数,所以f(x) ? 0; (ⅱ) 若r = 1,即x = 3q ? 1,q?Z,则 f(x) = f(3q ? 1) = an(3q ? 1)n ? ? ? a1(3q ? 1) ? a0 = 3Q2 ? an ? ? ? a1 ? a0 = 3Q2 ? f(1), 其中Q2?Z。由于f(1)不是3的倍数,所以f(x) ? 0。 因此 若f(x) = 0有整数解x,则必有 x = 3q ? 2 = 3q? ? 1,q ??Z, 于是 0 = f(x) = f(3q ? ? 1) = an(3q ? ? 1)n ? ? ? a1(3q ? ? 1) ? a0 = 3Q3 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (? 1)nan = 3Q3 ? f(?1), 其中Q3?Z。所以3?f(?1) = a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1)nan 。 例3 设a,b是整数,且 9?a2 ? ab ? b2 (1) 则3?(a, b). 解 由式(1)得到 9?(a ? b)2 ? 3ab ? 3?(a ? b)2 ? 3ab ? 3?(a ? b)2 ? 3?a ? b (2) ? 9?(a ? b)2 再由式(1)得到 9?3ab ? 3?ab 因此,3?a或3?b。 若3?a,由式(2)得到3?b;若3?b,由(2)式也得到3?a。因此,总有3?a且3?b。 则 3?(a, b)。 例4 若a 1,a n ? 1是素数,则a = 2,并且n是素数。 解 若a 2,则由 an ? 1 = (a ? 1)(an ? 1 ? an ? 2 ? ? ? 1) 可知a n ? 1是合数。所以a = 2。 若n是合数,则n = xy,x 1,y 1,于是由 2xy ? 1 = (2x ? 1)(2x(y ? 1) ? 2x(y ? 2) ? ? ? 1) 以及2x ? 1 1可知2n ? 1是合数,所以2n ? 1是素数时,n必是素数。 注:若n是素数,则称2n ? 1是Mersenne数。 1、求325与214的最大公因数 * * 初 等 数 论 闵嗣鹤 严士健 (第三版) 河北师范大学 数信学院 主讲人:蔡炳苓 例1 设a1, a2, ?, an是整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an = 0,a1a2?an = n,则4?n。 解 如果2不整除n,则n, a1, a2, ?, an都是奇数。于是a1 ? a2 ? ? ? an是奇数个奇数之和,不可能等于零,这与题设矛盾,所以2?n,即在a1, a2, ?, an中至少有一个偶数。如果只有一个偶数,不妨设为a1,那么2不整除ai(2 ? i ? n)。此时有等式 a2 ? ? ? an = ?a1, 在上式中,左端是(n ? 1)个奇数之和,右端是偶数,这是不可能的,因此,在a1, a2, ?, an中至少有两个偶数,即4?n。 2、求1008与1134的最小公倍数。 练习 3、边长为1厘米的正方体2100个,堆成一个实心的长 方体,它的高是10厘米,长和宽都大于高,求长和宽。 4、已知十个正整数之和为1001,这十个正整数的最大公因数为d, ,求d。 6、求40!的标准分解式。 2012.02.16 7、计算 5、将2,4,6,8,12,16,24,48分成两组,每组四 个数,使它们的积相等。 8、解方程
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