八单元气体动理论教程.ppt

麦克斯韦速率分布定律 对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明它们的速率分布遵从一定的统计规律。 理想气体分子按速率间隔分布的规律称为麦克斯韦速率分布规律。为了寻找这一规律，把速率分成很多小的区间Dv，以DN 表示N 个分子分布在区间v→v+Dv中的分子数，可以做出如下的分布曲线： v v+?v 表示N 个分子分布在v 附近Dv 速率区间中的分子数占总分子数的百分比，与v 、Dv有关。 表示N 个分子分布在v 附近单位速率区间中的分子数占总分子数的百分比，与v 有关。 定义速率分布函数： ? 即在速率 v 附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，就是图中曲线所描述的函数。 v v+dv 麦克斯韦速率分布函数 (Maxwell’s speed distribution function) 上式中的m 是分子的质量， 是玻耳兹曼常数。 理想气体在温度为T的平衡态下的分子速率分布函数为： 分布函数f(v)为速率v的连续函数。注意到以下一些表达式的物理意义: 2、 表示速率在v~v+dv区间内的分子数。 1、 表示在总分子数N中，速率在v~v+dv区间内的分子数占分子总数的百分比。 3、 表示在总分子数N中，速率在v1~v2区间 的分子数占总分子数的百分比。并且，当积分 限为0~∞时，这个积分的为100%——归一化。 在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分比。 归一化条件: f(v) v v2 v1 分子速率的三种统计平均值 1、最概然速率 (most probable speed)，与速率分布曲线上的最大值相对应： 2、平均速率(mean speed) 3、方均根速率(root-mean-square speed ) f(v) v f(v) v 273K 1273K 73K 同种分子在不同温度下的分子速率分布曲线 f(v) v T1 T2 例 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？ (1) T1 T2 (2) 红：氧 兰：氢 解 例 处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率vF，且已知电子速率在 v → v + d v 区间概率为： A 为常数 （1）画出电子气速率分布曲线 （2）由vF 定出常数 A （3）求 O v f ( v ) （1） 解 （2）由归一化条件 （3） §8.7 能量按自由度均分定理 讨论的对象是理想气体 对于能量问题——要考虑分子内部结构 因为分子热运动的能量包括了作为整体运动的平动能量、还有分子的转动能量、甚至还有分子内部的振动能量。 对于碰撞问题——将分子看成质点，碰撞形成压强。 自由度的概念 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。 质点的自由度: （ x，y，z ） 最多3 个自由度，受约束时自由度减少。 例如：飞机有3个自由度；轮船2个；火车1个。 对刚体而言，可以有平动和转动，因此确定其运动的自由度也由平动自由度和转动自由度构成！ 右图为一些常见分子的构型。因为分子具有内部结构，故其热运动能量应包括平动、转动和振动。 单原子分子 3个自由度；平动3个；转动0个 本课程中不考虑分子内部的振动，因此认为分子是刚性的。关于分子的振动能量的说明，需要用到量子力学的知识。 各种分子的自由度 刚性多原子分子 6个自由度；平动3个；转动3个 刚性双原子分子 5个自由度；平动3个；转动2个 能量按自由度均分定理 (Energy equal-partition theorem ) 已知分子的平均平动动能： 每个自由度对平动是等价的，平均分配到的动能为： 同样：每个转动自由度上的平均动能都等于： 由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。 在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个 自由度都具有相同的平均动能，等于 : 根据能量均分定理，如果气体分子有 i 个自由度，则分子的平均总动能为： 能量均分定理： 能量均分定理是统计规律，反映大量分子系统的整体性质，对个别分子或少数分子不适用。 理想气体的内能 内能是指气体所包含的所有的热运动动能和分子间相互作用势能的总和。 对于理想气体，由于分子间没有相互作用并且不考虑振动自由度，因此理想气体的内能就是各种动能之和。 1