01单元多元函数微分学1节.ppt

如 f (x) = exy ·sin(x2+y), = e0 ·sin0 = 0. 　　3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, …为自变量的基本初等函数 f (x), ?(y), g(z), …以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数. 定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面. 这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面. 4.二元连续函数的几何意义: 　　例.设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数}? R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数, 即 f (x, y) = 1, 当(x, y) ? D时, 无定义, 当(x, y) ? D时. 如图 x y z o 1 可知, ? (x0, y0) ? D, 但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面. 三、有界闭区域上二元连续函数的性质 性质1. 性质2. 有界闭域 , 连续 , 有界闭域 , 连续 , 性质3. 使 f (X0) = C. 这些定理都可推广到三元以上的函数中去. 有界闭域 , 连续 , 问,由性质3是否可得到 根的存在定理,如何表述? 例3. 解: 原式 = = 0 ·1= 0 例4. 解: 原式 = 例5. 解: 原式 = 故 例5似可用下述方法算. 从而 … (1) 函数定义域外, 它们不是点(x, y)趋于(0, 0)时的路径. 则必须包括 x 轴 和 y 轴这两条路径(在这个函数的定义域内). 应补充讨论: 当 (x, y)沿 x 轴(y = 0)趋于(0, 0)时, 有 … (2) 当 (x, y) 沿 y 轴 (x = 0)趋于(0, 0)时, 有 … (3) 综合得(1), (2), (3), 问, 是否有 　　提示: 取 yn= kn xn , 当n??时, xn ?0, kn ? ?1, 且kn 趋于?1的速度比xn趋于0的速度快得多. 这一方法是否具有普遍性? 即, 是否总有 初学者在算二重极限时, 容易引出下面算法: 如 = 0 实质上, 就是 　　设 z = f (X) = f (x, y)在区域 D 上有定义, X0 = (x0, y0)为D的内点. 四、二次极限 考虑 X = (x, y)沿两条 特殊路径趋近于X0 = (x0, y0)时 f (x, y)的极限. 情形相当于下图 对应的函数极限为 称为先对 x , 后对 y 的二次极限. 　　(1)先固定 y, 令 x ? x0, 即, 让点(x, y)沿平行于 x 轴的直线趋于点 (x0, y) , 然后, 再令 y ? y0, x y o (x0, y) (x, y) (x0, y0) 　　(2)先固定 x , 令 y ? y0, 即, 让点(x, y)沿平行于 y 轴的直线趋于点 (x, y0) , 然后, 再令 x ? x0, 情形相当于下图 x y o (x, y0) (x, y) (x0, y0) 对应的函数极限为 称为先对 y , 后对 x 的二次极限. 由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限. 有, 如例2中, = 0 = 0 但二重极限不存在. 1.二次极限不一定等于二重极限. (如二重极限不存在时, 二次极限可能不相等.) 即在很多情形中, 所以, 不能随便交换极限的顺序. 2.两个二次极限不一定相等. 如 = = ? ? 　　从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. 如图 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x2 + y2 = 1 6.开区域(开域) 设 E 是一平面点集. 　　比如, 例1中D是开区域. 如图. E 　　 从几何上看, 开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集. 若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域. 7.闭区域(闭域) 若 E 是开域, 记 称为闭区域. 如图. E 　　易见,例2中的D是闭区域. 从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集. (本书把)开区域和闭区域都叫作区域. 　　易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域. 　　8.设 E ? R2,若存在r 0,使 E ? U(O, r),则称E为有界集. 否则称E为无界集. 9.聚点 　　从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚