结构力学05单元虚功原理与结构位移计算3节.pptVIP

第 五 章 虚功原理与结构位移计算 §5-5 图乘法 一、图乘法的适用条件 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分： 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为： （1）杆轴为直线； （2）杆段 EI = 常数； （3）M和MP中至少有一个是直线图形。 二、图乘公式 图示为AB杆的两个弯矩图。 M为直线图形， MP 为任意图形。 该杆截面抗弯刚度EI=常数。 O O’ MP图 α M图 由M 图可知： M= y= x tanα dx dA=MPdx y x C xC yC A B ⊿= xC tana=yC ⊿=∫(M MP /EI)ds= 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值⊿就等于MP图的面积A乘其形心所对应M图上的竖标yC，再除以EI。 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 A xC tana 1 EI ·A·yC 1 EI 三、应用图乘法计算位移时的几点注意 1、应用条件： 杆段必须是分段等截面；EI 不能是x的函数；两图形中必有一个是直线图形，yC取自直线图形中。 2、正负号规定： A与yC同侧，乘积 A yC取正； A与yC不同侧，则乘积A yC取负。 3、几种常用图形的面积和形心位置： 见书P.175图5-17。 曲线图形要注意图形顶点位置。 4、如果两个图形均为直线图形，则标距yC可取自任何一个图形。 5、当yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行。在折点处分段图乘，然后叠加。 A1 y1 A2 y2 A3 y3 当杆件为阶段变化杆件时（各段EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。 6、把复杂图形分为简单图形 （使其易于计算面积和判断形心位置） 取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。 （1）、如两图形均为梯形，不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。 A B C D a b MP l c d M C1 yC1 C2 yC2 A C D MP’ C1 a A D B b MP’’ C2 MP=MP’+MP’’ ⊿=(1/EI)∫MMPds =(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds ⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2] ⊿= l 6EI (2ac+2bd+ab+bc) (2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。 A B C D a b MP c d M l C1 yC1 yC2 C2 C1 a b C2 MP’ MP’’ ⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2] 其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2=2d/3 - c/3 ⊿= l 6EI (2ac+2bd-ab-bc) （3）、一般情况 右图所示为某一段杆(AB)的MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与M图图乘，图乘后叠加。 四、示例 例1、求悬臂梁中点C的挠度⊿CV，EI=常数。 解： （1）、设虚拟力状态如图，作M和MP。由于均为直线图形，故A可任取。 FP l/2 l/2 ⊿CV FP MP FP l 1 l/2 M A 5FP l/6 M: A=1/2×l/2×l/2=l2/8 MP: yC=5/6×FP l ⊿CV=A·yC /EI =(l2/8×5/6×FP l)/EI =5FP l3/48EI (↓) (2)、讨论 若： AP=1/2×FPl×l=Pl2/2 yC=1/3×l/2=l/6 ⊿CV=AP·yC /EI =(FPl2/2×l/6)/EI =FP l3/12EI (↓) 对否？ FP l/2 l/2 ⊿CV FP MP FP l AP 1 l/2 M l/6 错在哪里？ FP l/2 l/2 ⊿CV FP AP 1 l/2 3、正确的作法 AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 y1=l/3 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y2=l/6 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y3= 0 FP l ⊿CV=∑AP·yC/EI