结构力学稳定理论教程2节.pptVIP

§14-3 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法 稳定计算最基本最重要的方法 静力法：考虑临界状态的静力特征。 （平衡形式的二重性） 能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） P l A B k 要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载。 l θ=0，原始平衡 θ≠0，新平衡形式 特征方程（稳定方程） 临界荷载 MA=kθ 确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. P A B 转动刚 度系数k B′ λ θ EI=∞ 1、静力法 对于具有n个自由度的结构，新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定，在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程，它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方程组。根据临界状态的静力特征，该齐次方程组除零解外（对应于原有平衡形式），还应有非零解（对应于新的平衡形式），故应使方程组的系数行列式为零，D=0即为稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。 例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 l l l P k k A B C D P k k y1 y2 λ R1=ky1 R2=ky2 YA=Py1/l YD=Py2/l 解：1）静力法 设变形状态 求支座反力 列变形状态 的平衡方程 （a） 如果系数行列式=0 y1，y2不为零，对应 新的平衡形式。 A B C D 1 -1 对称问题可利用对称性做。 P 2、能量法 静力法对等截面压杆的稳定分析较为简单，而对 变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。 也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。 刚性小球运动稳 定性与能量的关系 设静止点A、B、C点Π=0 A B C A点为稳定平衡，偏离A点δΠ＞０其势能将增加，故知稳定平衡位置的势能为最小。 B点为随遇平衡，偏离B点δΠ=０ 势能不变。 C点为不稳定平衡，偏离C点δΠ＜０其势能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。 对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情 况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载 在位移上做功W（外力势能UP=－W）使体系偏移，内力在变形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能Π=U+ UP即总势能的增量δΠ。 如总势能Π=U+ UP 0（δΠ0），体系能 恢复原位置，平衡是稳定的； 如总势能Π=U+ UP =0（δΠ=0），体系能 在任意位置平衡，平衡为中性的； 如总势能Π=U+ UP 0（δΠ0），体系不 能恢复原位置，平衡是不稳定的。 用能量法求临界荷载，依据于临界状态的 平衡条件，它等价于势能驻值原理： 弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即 δΠ=0 或：Π=0 （单自由度体系） （用于多自由度体系） P l A B k l MA=kθ P A B B′ λ θ EI=∞ Π=0 弹性体系的平衡方程?势能驻值原理：对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能Π为驻值，即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP MA=kθ 2 2 q l = 2 sin 2 2 q l = ) cos 1 ( q l l - = MA=kθ 弹性应变能 荷载势能: 应用势能驻值条件: 位移有非零解得： P l A B k B′ λ θ EI=∞ 单自由度体系也可由Π=0解得： 总势能是位移θ的二次函数， 1）Pk/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定） (即UUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当θ=0，Π为极小值0。 对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值 2）Pk/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。 3）P=k/l ，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。 θ Π PPcr θ Π PPcr θ Π P=Pcr 结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值δΠ=0 ，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必