节数值积分和微分方程数值解演示文稿.ppt

数值解程序exn537的运行结果 ◆程序运行的结果见图5-37。这个数值积分函数是按精度要求自动选择步长的。它的默认精度为1.e-3，因此图中的积分结果是可靠的。 若要改变精度要求，可在调用命令中增加备选变元，具体做法可键入help ode23查找。 exn537的运行结果的讨论 从物理意义看，这个方程表示了一个变系数的无阻尼振动方程。如果这是一个机械振动，则弹簧刚度随时间成正比地增强，振动频率随之逐渐提高。为了看得更为清楚，设弹簧刚度随时间按三次方增强，即方程的第二项系数为y3，则只要把子程序exn537f中的核心语句改为 xdot=[0, 1; -t.^3, 0]*x + [0; 1]*u; 重新运行程序exn537，就得到频率迅速提高的波形,如图5-37。如果我们在原来的方程中加进y的一阶导数项（阻尼项），也只要在函数子程序中把矩阵的系数作些改动，马上就可以得出新的结果。由此可见，用计算机解题的极大优越性。 七．常系数线性微分方程的数值解 第四章4.3.5节介绍了常系数线性微分方程用MATLAB求解的问题。其实这类方程是有解析解的，这个解析解取决于微分方程系数多项式的根。而四次以上多项式的求根却没有解析解，这就要依靠MATLAB用数值方法解决代数问题，这个函数称为residue，根据微分方程左端系数多项式a和右端系数多项式b，就可求根p和求留数r。 [r,p]=residue(b,a) 读者可以参阅4.3.5节的算例，并可参阅第七章中的机械振动和第九章中求系统响应的例题 什么是刚性问题？ 在用微分方程描述的一个变化过程中，若往往又包含着多个相互 作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有 “刚性”。描述这类过程的微分方程初值问题称为“刚性问题”。例 如，宇航飞行器自动控制系统一般包含两个相互作用但效应速度相差 十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系统，当飞行器速 度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说变化缓慢；另一个是控 制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，相对来说变化很快，因而整 个系统就是一个刚性系统。 八. 符号数学求不定积分 不定积分问题要用符号数学的公式推理功能来解决问题。而根据本书的指导思想和风格，主要强调数值计算和计算的道理，不把公式推理放在主要的地位。但是工作中如果遇到这种需要，还是应该利用符号数学的功能来解决，就算是查积分表也是应该会查的。所以也大致地介绍一下例题的类型和解法。 符号数学解不定积分例 538(a) 例5-3-8(a)。求不定积分 解：因为是不定积分，不能用数值方法计算，只能用符号数学工具箱。程序为： syms x, y=x^2*atan(x), Z=int(y) 得到 y = x^2*atan(x) Z = 1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1) 符号数学求不定积分例 538(b) 例5-3-8(b)。解下列积分，画出解的曲线。 解：程序为 syms x Y=int((cos(x))^2+sin(x)) 系统运行的结果为： Y =1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x-cos(x)+C 代入边界条件，得： C=1-(1/2*cos(pi)*sin(pi)+1/2*pi-cos(pi)) 结果是 C =-pi/2 符号数学求不定积分例 538(c) 例5-3-8(c)。求下列积分。 解：程序为： syms x,Y=int(exp(-x^2)) % 不定积分： Y1=int(exp(-x^2),0,1) % 定积分： 运行结果为： Y = 1/2*pi^(1/2)*erf(x) Y1 = 1/2*erf(1)*pi^(1/2) 【应用篇中与本节相关的例题】 ①【例6-5-1】和例6-5-2磁场计算由元电流生成的磁场积分，得到全部线圈产生的磁场。 ②【例7-1-3】导弹跟踪目标的轨迹，根据x,y两个方向的速度积分得出轨迹。 ③【例7-1-5】有空气阻力下的抛射体轨迹，是微分方程的数字积分求解问题。 ④【例7-2-2】懸臂梁的桡度计算，这是纯粹的两次积分问题。 ⑤【例7-2-3】简支梁的桡度计算，也是纯粹的两次积分问题。 ⑥【例7-3-1】，【例7-3-2】，一自由度自由振动和强迫振动，都是常微分方程求解的典型问题。这两道题用的是解析解，只是用数学软件来求根和绘制波形。 【应用篇中与本节相关的例题】 ⑦【例7-3-3】两自由度振动，是四阶的矩阵微分方程的问题。本题对于高阶矩阵指数采用了数值解，并且用矩阵对角化的方法，对振动的模态作了分解和分析。 ⑧【例9-1-2】任意高阶连续线性系统冲击响应的计算，它实际上是求常系数线性微分方程的解析解，可归结为代数问题，用MATLA