节数字积分和微分方程数值解教程.ppt

数值解程序exn547的运行结果 ◆程序运行的结果见图5-37。这个数值积分函数是按精度要求自动选择步长的。它的默认精度为1.e-3，因此图中的积分结果是可靠的。 若要改变精度要求，可在调用命令中增加备选变元，具体做法可键入help ode23查找。 exn547的运行结果的讨论 从物理意义看，这个方程表示了一个变系数的无阻尼振动方程。如果这是一个机械振动，则弹簧刚度随时间成正比地增强，振动频率随之逐渐提高。为了看得更为清楚，设弹簧刚度随时间按三次方增强，即方程的第二项系数为y3，则只要把子程序exn537f中的核心语句改为 xdot=[0, 1; -t.^3, 0]*x + [0; 1]*u; 重新运行程序exn537，就得到频率迅速提高的波形,如图5-37。如果我们在原来的方程中加进y的一阶导数项（阻尼项），也只要在函数子程序中把矩阵的系数作些改动，马上就可以得出新的结果。由此可见，用计算机解题的极大优越性。 七．常系数线性微分方程的数值解 第四章4.3.5节介绍了常系数线性微分方程用MATLAB求解的问题。其实这类方程是有解析解的，这个解析解取决于微分方程系数多项式的根。而四次以上多项式的求根却没有解析解，这就要依靠MATLAB用数值方法解决代数问题，这个函数称为residue，根据微分方程左端系数多项式a和右端系数多项式b，就可求根p和求留数r。 [r,p]=residue(b,a) 读者可以参阅4.3.5节的算例，并可参阅第七章中的机械振动和第九章中求系统响应的例题 八. 符号数学求不定积分 不定积分问题要用符号数学的公式推理功能来解决问题。而根据本书的指导思想和风格，主要强调数值计算和计算的道理，不把公式推理放在主要的地位。但是工作中如果遇到这种需要，还是应该利用符号数学的功能来解决，就算是查积分表也是应该会查的。所以也大致地介绍一下例题的类型和解法。 符号数学解不定积分例 548(a) 例5-4-8(a)。求不定积分 解：因为是不定积分，不能用数值方法计算，只能用符号数学工具箱。程序为： syms x, y=x^2*atan(x), Z=int(y) 得到 y = x^2*atan(x) Z = 1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1) 符号数学求不定积分例 548(b) 例5-4-8(b)。解下列积分，画出解的曲线。 解：程序为 syms x Y=int((cos(x))^2+sin(x)) 系统运行的结果为： Y =1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x-cos(x)+C 代入边界条件，得： C=1-(1/2*cos(pi)*sin(pi)+1/2*pi-cos(pi)) 结果是 C =-pi/2 符号数学求不定积分例 548(c) 例5-4-8(c)。求下列积分。 解：程序为： syms x,Y=int(exp(-x^2)) % 不定积分： Y1=int(exp(-x^2),0,1) % 定积分： 运行结果为： Y = 1/2*pi^(1/2)*erf(x) Y1 = 1/2*erf(1)*pi^(1/2) 【应用篇中与本节相关的例题】 ①【例6-5-1】和例6-5-2磁场计算由元电流生成的磁场积分，得到全部线圈产生的磁场。 ②【例7-1-3】导弹跟踪目标的轨迹，根据x,y两个方向的速度积分得出轨迹。 ③【例7-1-5】有空气阻力下的抛射体轨迹，是微分方程的数字积分求解问题。 ④【例7-2-2】懸臂梁的桡度计算，这是纯粹的两次积分问题。 ⑤【例7-2-3】简支梁的桡度计算，也是纯粹的两次积分问题。 ⑥【例7-3-1】，【例7-3-2】，一自由度自由振动和强迫振动，都是常微分方程求解的典型问题。这两道题用的是解析解，只是用数学软件来求根和绘制波形。 【应用篇中与本节相关的例题】 ⑦【例7-3-3】两自由度振动，是四阶的矩阵微分方程的问题。本题对于高阶矩阵指数采用了数值解，并且用矩阵对角化的方法，对振动的模态作了分解和分析。 ⑧【例9-1-2】任意高阶连续线性系统冲击响应的计算，它实际上是求常系数线性微分方程的解析解，可归结为代数问题，用MATLAB多项式函数库来求解。 ⑨【例9-1-4】多个放大器串联的脉冲响应仍然属于常系数线性微分方程在初始条件下的解，本题的特殊性在于遇到了重根。要在理论上解决这个问题，相当麻烦，但是用MATLAB作一下数值处理，就可以非常方便地求解。从这里可以看出工程师和数学家处理数学问题的区别。 ⑩【例9-4-1】在电磁场课程中常常遇到偏微分方程，本例给出了它的数值算法。这种方法对于电磁场的计算有一定的普遍意义。 5.4节 数值积分和微分方程数值解 一．数值定积分求面积 【例5-4-