第八章 多元函数微分学 第二节 偏导数及其在经济分析中的应用.ppt

函数与极限 一、偏导数的定义及其计算方法 二、高阶偏导数 三、偏导数在经济分析中的应用—交叉弹性 第二节 偏导数及其在经济分析中的应用 定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点 的某一邻域内 有定义 , 当 y 固定在 而 x 在 处有增量 ? x 时 , 相 应地函数有增量 , 如果 存在, 则称此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点 处对 x 的偏导数，记为 或 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点 处对 y 的偏 导数，为 记为 或 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在 , 那么这个偏导数就是 x , y 的函数 , 它 就称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数 , 记作 或 同理可以定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导函数 , 记作 或 偏导函数也简称为偏导数 . 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 如 在 处 解 例1 求 在点 处的偏导数 . 如何求偏导数呢? 我们通过例题来说明 . 证 原结论成立 . 例2 设 求证 证毕 有关偏导数的几点说明： 2. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义； 解 1. 偏导数 是一个整体记号，不能拆分； 3. 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续(见上节例6) . 偏导数存在 连续 . 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 例如，函数 依定义知在 处， 4. 偏导数的几何意义 偏导数 就是曲面被平面 所截得的 曲线在点 处的切线 对 x 轴的斜率 . 偏导数 就是曲面被平面 所截得的 曲线在点 处的切线 对 y 轴的斜率 . 见下图 纯偏导数 混合偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为 定义: 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 . 解 例3　设 求 及 例4 设 ，求二阶偏导数 . 解 问题：混合偏导数都相等吗？ 解 按定义可知 ： 问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 解 定理 如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那末在该区 域内这两个二阶混合偏导数必相等 . 例6 验证函数 满足拉普拉斯 方程 证毕 在一元函数微分学中，我们引出了边际和弹性的概 念，来分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化 率。这些概念也可以推广到多元函数微分学中去，并 被赋予了更丰富的经济含义。 例如, 某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, 除 了关心本品牌电视机的价格取向外 , 更关心其他品牌 同类型电视机的价格情况 , 以决定自己的营销策略。 即该品牌电视机的销售量 是它的价格 及其他 品牌电视机价格 的函数 通过分析其边际 及 可知道， 随着 及 变化而变化的规律。进一步分析其弹性 可知这种变化的灵敏度。 前者称为 对 的弹性 ; 后者称为 对 的弹性, 亦称为 对 的交叉弹性。这里, 我们将主要研究交 叉弹性 及其经济意义。 先看如下两个例子： 例7 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格 (用 表示) 会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降 5% , 且猪肉需求量 (用 表示) 对肉鸡价格的交叉弹性为 0.85，问明年猪肉的需求量将如何变化? 将导致猪肉需求量的下降。 解 由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降 依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为 而肉鸡价格将下降 于是猪肉的需求量将下降 例8 某种数码相机的销售量 , 除与它自身的价格 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格