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数学模型 第八讲战争模型 军备竞赛模型背景 战役作战背景 Q Q 3 7 2 7 4 0 5 1 6 纪 跃 jiyue123@126.com 实验 作图 资料 有哪些信誉好的足球投注网站 数学建模十讲 * 模型B 正规战与游击战 模型A 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(并预测)双方军备竞赛的结局 A 军备竞赛（目的） 案例概述 第一次世界大战（法俄等同盟与德奥匈同盟）；第二次世界大战（苏英中美等同盟国与德意日轴心国）；冷战（美苏两大阵营）；“一超”多极多边军备竞赛。 Lewis Fry Richardson 1881 ~1953(England) L.F.Richardson 在1939年提出了著名的描述军备竞赛的数学模型。由于影响军备竞赛的因素非常复杂，此模型只是要说明：一个复杂的实际过程可以被合理地化简到什么程度，得到的结果又怎样用来解释实际现象，即军备竞赛的发展结局如何？ 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；线性。 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；线性。 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力；常数。 假设 建模 x(t)甲方军备数量 y(t) 乙方军备数量 ? ? ~ 本方经济实力的制约 k l ~ 对方军备数量的刺激 g h ~ 本方军备竞赛的潜力 研究军备竞赛的结局，即 微分方程的平衡点 及其稳定性 当t ? ?时x(t)，y(t)性态 定性研究 线性常系数微分方程 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 等价于代数方程的根 平衡点与稳定性 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 稳定平衡点（定义） 记系数矩阵 特征方程 特征根 特征方程与特征根 特征根 微分方程 一般解形式 微分方程一般解形式 （?1,2为负数或有负实部） p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 解的讨论 稳定 不稳定 平衡点 P0(0,0) 稳定性判断的计算机讨论 修改参数发现规律 平衡点 ?, ? ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 双方军备的稳定平衡点 kl ab 若时间充分长后趋向有限值，双方军备稳定，其条件是： 军备稳定的条件 模型的定性解释（结论一） ?? kl 表明双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 模型的定性解释（结论二） 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。 若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备。 模型的定性解释（结论三） 模型的定性解释（结论四） 即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0，也会因（ ）使该方重整军备，即存在互不信任 或固有争端 的单方面裁军不会持久。 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱; 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加; 战斗力与射击次数及命中率有关 B正规战与游击战 Frederick William Lanchester 1868 – 1946(UAS) 战争分3类 正规战争 游击战争 混合战争 第一次世界大战 Lanchester提出预测战役结局的模型 每方战斗减员率取决于 双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与 本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t), v(t) x(t) ~甲方兵力 y(t) ~乙方兵力 模型假设 一般模型假设 f, g 取决于战争类型 一般数学模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率 a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率 双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援 正规战争模型假设 正规战争数学模型 0 k0 甲方胜 正规战争之平方律模型 k=0 平局 k0 乙方胜 A、B模型评论 最象牙塔的数学理论研究，却与人类的生死存亡密切相关，每个微分方程竟然直接透着如此浓厚的火药与血腥气味！所有模型的检验都是人们不愿意看到的，更不会刻意为了检验模型而投入“战斗”。事实上，模型的检验大多是通过战后（敌我）资料反思获得验证！ jiyue123@126.com 谢谢惠顾 Q Q 3 7 2 7 4 0 5 1 6 纪 跃 jiyue123@126.com 实验 作图 资料 有哪些信誉好的足球投注网站 数学建模十讲