数学解题思维.ppt

数 学 解 题 思 维 高中数学组 思维的变通性 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性 ——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。 一、思维变通性相关概念 观察—联想—转化 1.善于观察 观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 2.善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 3.善于将问题进行转化 数学解题是命题的连续变换 ——数学家G . 波利亚 解题过程是通过问题的转化才能完成的 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是 把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题， 把未知问题转化成已知问题。 例如 思维定势 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。 小 结 善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。 要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。 二、思维训练实例 1.观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，学会能用常规方法解题外，还能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。 例1 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 思维障碍 很多同学看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。未能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 思维障碍 思路分析 有些问题的观察要从相应的图像着手 （数难想形） 例3 思路分析 思维障碍 2.联想能力的训练 例4 思路分析 思维障碍 有的同学可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。 例5 思路分析 证明： 思维阻碍 由于这是一个关于自然数的命题，一些同学会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。 3.问题转化的训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。 （1）转化成容易解决的明显题目 思路分析 思维障碍 很多同学只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。 例7 思路分析 (2) 逆向思维的训练 逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。 (正难想反） 例8 思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。 (3) 一题多解训练 由于每个同学在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使同学们认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。 例9 在平面坐标系中，在y轴的正半轴上（坐标原点除外），给定两点A、B，试在x轴正半轴上求点C，使∠ACB取得最大值。 1.求∠ACB的三角函数的表达式 方法1: 联想二角和差公式 tanθ=tan(α- β) 或sinθ=sin(α- β) 方法2: 联想余弦定理 方法3：联想面积公式 2.应用平面几何性 方法4：过A、B作与x轴正半轴相切的 圆 ，则切点C为所求。 （证明略） 伟大的成绩和辛勤的劳动是成