2017版高考数学一轮复习汇总 第八章 立体几何 第6讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理.ppt

第6讲　立体几何中的向量方法(一) —— 证明平行与垂直 ;知 识 梳 理;2.空间位置关系的向量表示;诊 断 自 测;2.(苏教版选修2－1P105T1(5)改编)平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.;3.(2016·临沂模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，给出以下命题：;4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，给出下列向量：;规律方法　(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.;【训练1】 如图所示，平面PAD⊥平面 ABCD，ABCD为正方形，△PAD是 直角三角形，且PA＝AD＝2，E， F，G分别是线段PA，PD，CD的中点. 求证：PB∥平面EFG.;考点二　利用空间向量证明垂直问题;规律方法　(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 ①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. ③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.;【训练2】 (2015·北京卷)如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点.;(1)证明　因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点， 所以AO⊥EF. 又因为平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB＝EF，AO?平面AEF， 所以AO⊥平面EFCB，又BE?平面EFCB， 所以AO⊥BE. (2)解　取BC的中点G，连接OG. 由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF 由(1)知AO⊥平面EFCB. 又OG?平面EFCB，所以OA⊥OG..;考点三　利用空间向量解决探索性问题;(1)证明　设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， ∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， ∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， A1O?平面AA1C1C， ;规律方法　向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论. (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.;【训练3】 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.;[思想方法];2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.;[易错防范]