§1.1 向量和矩阵的定义及运算.ppt

当两个求和指标独立取值时,连加号的顺序可以交换. 或 引例 设甲、乙、 丙三位同学的高数平时、 期中、期末成绩为矩阵A, 平时、期中、 期末成绩所占比例为矩阵B, 这三位 同学的高数总成绩用矩阵C表示. 三、矩阵的乘法 引例(续) 解: 甲同学的高数总成绩为 乙同学的高数总成绩为 丙同学的高数总成绩为 引例(续) 还可以利用矩阵的某种运算得到上述总成绩. 设A=(aij)s×n是一个s×n矩阵， B=(bij)n×m是一个n×m矩阵, A的列数等于B的行数. 用cij表示A的第i行与B的第j列的对应分量乘积之和， 定义6 即： 称矩阵C=(cij)s×m为矩阵A与B的乘积，记为 C=AB. 注意：由矩阵乘法的定义 = A的第i行乘 B的第j列 故可以把乘法规则总结为：左行乘右列. 注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. (2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数. 例 设 矩阵A,B乘积的行数、列数间的关系是 (s, n)×(n, m)=(s, m) 用图示表示就是 = s n n m s m 计算AB. 故 解 例7 设 计算AB，BA. 解：根据乘法的定义, AB与BA都有意义. AB为n×n矩阵, BA为1×1矩阵(等同于数). 例8 设 仔细观察，我们发现： (1) AB=AC, 但B≠C，因此矩阵乘法不满足消去律； (2) AB≠BA, 因此矩阵乘法不满足交换律； (3) 两个非零矩阵的乘积可以为零. 则 矩阵的乘法性质 (1) 结合律：(AB)C=A(BC). 证明: 设A=(aij)s×n, B=(bij)n×m, C=(cij)m×p, 则乘积(AB)C与A(BC)都有意义, 且都为 s×p矩阵. 分别记矩阵(AB)C的(i,t)位置上的元素为[(AB)C]it, A(BC)的(i,t)位置上的 元素为[A(BC)]it. 由乘法定义： (加乘分配律) [(AB)C]it= (AB的第i行)(C的第t列) (双重连加号交换次序) (加乘分配律) (矩阵乘法定义) =(A的第i行)(BC的第t列) = [A(BC)]it (i=1,2,…,s; t=1,2,…,p) 所以，根据矩阵相等的定义，有 (AB)C=A(BC). (2) k(AB)=(kA)B=A(kB), k是一个数； (3) 左分配律: A(B+C)=AB+AC; 右分配律: (A+B)C=AC+BC; (6) 设A为n阶方阵，由乘法结合律， 可定义A的乘幂. 规定 注意：当同阶方阵A, B满足AB=BA时，则称A,B可交换. 当同阶方阵A,B不可交换时，一般 一些特殊矩阵的乘法 对角阵： 计算C=AB. 设 解： cij= A的第i行乘B的第j列 根据对角矩阵的定义：当i≠k时，aik=0； 当k≠j时，bkj=0，所以 因此，矩阵C也是一个对角矩阵. 练习：设A=(aij)n为任意n阶方阵，D=(dij)n为n阶对角阵,求B=AD,C=DA. 解： 上三角矩阵：如果A=(aij)n的元素aij=0，i j, i, j=1,2,...,n, 则称A为上三角 形矩阵，简称为上三角矩阵. 第一章 向量与矩阵的基本运算 §1.1 向量与矩阵的定义及运算 定义1 既有大小,又有方向的量称为向量(vector),又称矢量. n维向量可以用n个数构成的有序数组来表示. 记作 称为n维行向量； 若记作 并称数 ai 为 的第i个分量 (i=1,2,...,n). n维行向量和n维列向量都可称为n维 向量, n维向量常用小写黑体希腊字母 表示. 例： 则称为n维列向量. 定义2 设两个n维向量 (1) 如果他们对应的分量分别相等，即 则称向量 与 相等，记作 (2) 加法(addition): 称向量(a1+b1,...,an+bn) 为 与 的和，记作 ? +? O A B ? ? (3) 数量乘法(scalar multiplication): 设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与 的数乘，记作 伸缩变换 (4) 分量全为零的向量(0,...,0)称为零向 量，记作0. (5) 称(－a1, －a2 ,..., －an)为 的负向量， 记作 向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算. 对任意的n维向量 及任意的数k, l, 向量的线性运算满足以下八条运算规律：