研究性学习自然科学侧重数学领域研究例析.DOC

研究性学习自然科学(侧重数学领域)研究例析 南京金陵中学 戴喜 研究性学习是学生在教师的指导下，从自身生活或社会生活中选择和确定研究专题，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识解决问题的学习． Euler曾经有过这样一段论述:观察只局限于能产生感性印象的具体对象，所以如果在严谨的数学中也认为观察很重要的话，这看起来颇为荒谬．事实上，我们今天所看到的所有数学内容早在用严格论证确任其真实性之前就被发现了，甚至有的论证方法都是我们观察发现到的．因此，我们应该把我们的观察发现当作一种机会，去更精确地发现数学，以便证明它或推翻它，这两种情况我们都会学到有用的东西． 著名数学教育学家Polya也曾经说过:数学被人看作是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面．以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的．在证明一个数学定理之前，你先得猜测定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路．你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试．数学家的创造性成果是论证推理，但是这个证明是通过猜想而发现的．只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测占有适当的位置． 从以上论述，我们都可以感受到数学大家对数学研究的自己的见解，而他们的见解代表着数学研究问题的方法，这个方法和其他自然科学是一样的，那就是观察，猜想． 提出问题: 我们已经知道1+2+3+4+…+n=，那1+4+9+16+…+n2等于多少呢?我们又该如何面对这个问题呢? 分析问题: 熊在动物园“乞求食物”，当有一个观众在它面前时，它常常作出一些滑稽姿态促使这个观众把糖块抛入栏内，假如熊没有被囚禁，它决不可能采取这样可笑的行为，容易想象是什么让动物园的熊学会乞讨． 自然界的生物都知道这种简单的道理，那就是归纳，猜想． n 1 2 3 4 5 … S 1 5 14 30 75 … 只要能找到S与n的函数关系，问题就会迎刃而解． 再分析问题: 天文学家 ，数学家kepler行星运动三大定律的发现令我们折服， 他的这句“我珍视比较胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师”给我们留下了深刻的印象． 对于同样的问题，我们自然想到，把它放在一起，可能会有所启发． n 1 2 3 4 5 6 … P 1 3 6 10 15 21 … S 1 5 14 30 55 91 … 问题转化： 只要把S与n的关系，转化为S与P的关系就可以了，因为P和n的关系，我们是清晰明了的，但S与P的关系又该如何去寻找呢？ n 1 2 3 4 5 6 … P 1 3 6 10 15 21 … S 1 5 14 30 55 91 … Q 1 5/3 7/3 9/3 11/3 13/3 … 数学的问题是一种符号的问题，是一种用数学方法来刻画的问题，我们应该以数学的眼光来看问题，用数学的观点分析问题，按数学的规律来表达问题． 　P与S的关系是建立在运算的基础上的，S/Q所形成的新一列数，却有如此好的性质． 形成猜想 猜想： 它成立吗？我们自然想到的是验证． 我们还可以继续对下一种情形n=8再来检验，然而这种证实只能增加我们一点信心，继续计算几乎没有价值，我们就该想如何更有效地证明我们的猜想． 对猜想的解释 数学提供了一个学习论证推理的机会，但我们要学证明法，更要学猜测法，我们要利用一切可能的机会进行合情推理． ——Laplace 看到这个式子 稍微改变思路 我们可以对　　　　　　　　　　　　　　　　 这个式子有两种表示方法， 　　　而这两种方法又是统一的，这让我们的猜想有了一个质的飞跃． 我们的猜想公式如果对某一整数n成立，它必然对下一个整数n+1也成立．这让我们想到那个古老的游戏，经典的骨牌游戏，翻译过来就是： 　　　n=1成立，　　　n=２成立，　　　n=３成立…… 所猜想的公式对所有的整数都成立 整理提升： Guass曾经说过数学中意外的幸运颇为经常，所以要及时概括为漂亮的新的真理．实际上我们找到了一类问题的处理方法，只要做两件事情就够了， （１）验证n=1成立； （２）证明如果n=k成立，n=k+1也成立． 思维转变： 一个结构复杂的多面体有许多面，顶点，和棱边”这种含糊的叙述几乎任何人在立体几何中都有些接触，然而多数人不是决心认真努力去深挖这句话的意义，并在此基础上去探求一些更为精确的知识，正确的做法应该是很清楚地识别其中包含的量，并提出一些明确的问题．所以，假定我们把多面体的面，顶点和棱的数目，分别记为：F，V，E ． 你能提出什么问题吗？ 随棱数目E 的增大，面的数目F是否一起在增大？ F V E 立方体 6 8 12 三棱柱 5 6 9