简单迭代法和赛德尔迭代法的比较和在金属选矿中的应用材料学院沙军威.DOC

简单迭代法和赛德尔迭代法的比较和在金属选矿中的应用 材料学院 沙军威 2011208100 硕博连读生 迭代法是解线性方程组的有效方法之一，与直接法不同的是，其基本思想是不断用变量的旧值递推新值的过程。迭代法一般包括简单迭代法和赛德尔迭代法。 设有方程组： ……………… （1） 一、简单迭代法 简单迭代法的基本思想就是从给定的线性方程组中的每个方程中，分别分离出未知数X1、X2、……、Xn，并把给定的方程组改写为便于迭代的形式，然后用任意一组近似解（）代入改写后便于迭代的方程组中的每一个方程的右端，即可得出一组新的近似解。那么，从给定的一组近似解的初值（）出发，然后由迭代格式即可逐步得出一个近似解的序列（，k=1,2,……,n）。 当迭代次数增加时，迭代结果越来越逼近于其精确解。那么所建立的迭代格式是收敛的。其迭代序列（）收敛于方程组的精确解。 那么，就需要讨论其收敛性。 假设按照一定的方式从（1）中分离出未知数X1、X2、……、Xn，将方程组改写为： ………………………… (2) 即 从而建立迭代格式 （3） 取任意一组初值（）进行计算可以得到一个近似解的序列（，k=0,1,2,……,n）。如果极限存在，则迭代格式（3）收敛，从而记作 表示第k次近似值（）的误差，由（3）与（2）相减，则有 则有 记作 则有对一切i均成立，因而 由递推关系可得 可见，当μ1时，有，即，i=1，2，……，n 说明迭代格式收敛于精确解。 由此可得迭代格式是否收敛仅与迭代矩阵c有关。 所以，收敛条件为 二、赛德尔迭代法和收敛性 对于上述（2）的迭代格式（3）只需要稍加改变，就是赛德尔迭代法。即： 赛德尔迭代格式与简单迭代法相比，赛德尔迭代格式的收敛速度更快。每计算出一个未知量的新的近似值时，就用这个值去进行下一个未知数的计算，这样一方面提高了收敛速度，另一方面又可以无需保留“老值”，节省运算空间。 三、赛德尔迭代在选矿理论中的应用和程序实现 多种精矿产品选矿理论回收率的计算，最关键的问题是快速准确计算出多种精矿产品中的每一种精矿产品的产率的精确解。 设αi为原矿中第i种组分的原矿品位（%）；βij为第i种组分在第j种产品中的精矿品位（%）；y为原矿重量，xj为第j种精矿产品的重量，rj为第j种精矿产品的产率。则有 (5) 而各精矿产品中的第i种组分（i=1，2，……）的代数和，等于原矿中第i种组分的重量。因此，根据量平衡列出方程组为： （6） 根据（5）式，将（6）化为 （7） 可简写为 （7） 又因为尾矿产率，故当回收的金属i=1，2，3，……，n时，便可求出多种产品的金属平衡方程式为 （8） 将（8）整理后得 （9） 设，代入（9）得到线性方程组： （10） 以n=4为例： 设铜、铅、锌、硫精矿产品产率（%）分别为r1、r2、r3、r4，列出平衡方程组： （12） 以matlab进行计算，设初始值为r2=4%，r3=8%，r4=17.50%，程序实现如下： 建立M文件： function [x]= Seidel (A,b) % 用Seidel迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵 x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值 tol=10^(-6); % 给定误差界 N=1000; % 给定最大迭代次数 [n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶 k=1; % 迭代过程 while k=N x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1); for i=2:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1