简谐振动位移.PPT

[例4-1]已知SHM，A= 4 cm，? = 0.5 Hz， t =1s时x =-2cm且向x正向运动， 写出振动表达式。 ? t = 0 A ? 3 x = 4cos(?t + ) cm 解：由题意，T = 2 s 由图，? = ?/3 x t = 1s 时矢量位置 A1 t=1s 时的振动矢量如图所示。 t=0s 时的振动矢量方向应为 A1 矢量前1s时的旋转矢量。 （即半个周期前） 与 A1 矢量夹角为 ?，如图。 [例4-2] 由x-t曲线求振动方程。 1 3 6 t o x (cm) 解：设 x=Acos(? t+? ) [例4-3]如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。 A m A m y y O 解： 设：比重计截面S 质量－m 液体比重? 不考虑黏滞力 [例4-4]质量为m的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心C到轴o的距离为b，刚体对轴o的转动惯量为J。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率 (这样的摆称作复摆)。 · · o C ? b mg 可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动； mgb J ? = ( )1/2 解：力对轴o的力矩 M = - mgb sin? 由M = J? 小角度时 sin ? ? ? (2)角频率 4.2 简谐振动的合成 当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质点的运动 是几个运动的叠加——位移满足矢量叠加 ——振动叠加原理 主要讨论两种叠加形式： （1）平行简谐振动叠加 同频率 不同频率 （2）垂直简谐振动叠加 同频率 不同频率 一. 同方向同频率的简谐振动的合成 1.分振动 : x1=A1cos(? t+? 1) 2.合振动 : 合振动是简谐振动, 其频率仍为? x =A cos(? t+? ) x2=A2cos(? t+? 2) 设 x = x1+ x2 x =A cos(? t+? ) A A1 A2 y x o ?1 ?2 ? Ax Ay Ax = A1cos?1 + A2cos?2 由图知： Ay = A1sin?1 + A2sin?2 A2 = Ax2 + Ay2 由： tg? = Ay Ax 3.两种特殊情况 (1)若两分振动同相 ? 2?? 1=0（?2k?，k=0,1,2,…） (2)若两分振动反相 ? 2?? 1= ? ? （?(2k+1)?， k=0,1,2,…） 如 A1=A2 , 则 A=0 则A=A1+A2 , 两分振动相互加强 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱 如 A1=A2 , 则 A=2A1 2. 合振动 但当? 2?? 1时，? 2-? 1??? 2+? 1 x = x1+ x2 二. 同方向不同频率的简谐振动的合成 1. 分振动 x1=Acos? 1 t x2=Acos? 2 t 其中 随ｔ缓变 随ｔ快变 合振动可看作振幅缓变的“简谐振动” 合振动不是简谐振动。 *   振动有各种不同的形式： 机械振动 物理系统受到外界扰动时，系统状态在平衡态附近往复变化－周期运动或称振动。 物理量（如位移、电流等） 在某一数值附近反复变化。 电磁振动 微观振动(如晶格点阵上原子的振动)etc 第 4 章 机械振动 机械运动 振动分类 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 (简谐振动) 无阻尼自由谐振动 广义振动还包括一切具有周期性的运动现象。 如：心脏跳动、行星运动etc. 本章限于讨论机械振动 表达式： x(t)=Acos(? t+?) 最简单、最基本的振动－简谐振动 “位移”可为线量、角量etc. 为常量 式中 k x m x o 4.1 简谐振动 一. 弹簧振子的运动 取平衡位置为坐标原点 m 受力－线性恢复力 F= -kx F= -kx m 受力－线性恢复力 动力学方程： 加速度： 动力学方程： 取 为积分常数，由初始条件决定 初始条件确定 A 和 ? ： 注意： 由上式和 共同确定。 二. 振动状态 振子振动状态由 m 的位置和速度表征 速度 －振动方程（振动式） 加速度 速度 加速度 位移 x(t)=Acos(? t+?) 简谐振动－等幅振动 三. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A 代表物体位移的最大值。 x(t)=x(t+T ) 2. 周期T 和频率 v 谐振动某状态重复一次（ 全振动）所需要的时间－周期T v(t)=v(t+T ) ? =