莆田学院陈梅香矩阵多项式与可逆矩阵的确定-厦门大学高等代数.PPT

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莆田学院陈梅香矩阵多项式与可逆矩阵的确定-厦门大学高等代数

;;1.问题的提出;由于学时的限制,与数学专业的教学相关,矩阵多项式的; 问题1.1.1(见[1,P5])设 阶方阵;问题1.1.4(见[9,P52]) 设A 满足;问题1.1.6(见[12,P42 ]);证明 和 不同时可逆。 ;;;证明A-KE(其中k为任意实数)可逆,并求它的表达式。;问题1.2.1(见[7 ,例2.23])设n阶矩阵A≠0 满足A3=0,证明E-A,A+E都可逆,并求逆。; 问题1.3.1曾是1990硕士生入学统一考试1990年数学三的试题(见[15,P333]),几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题1.3.1化为基本问题。;问题1.4.1(见[11,习题3.2.8],[21,P50,3(2)]);2.问题的已有解法;(2).将 作恒等变形; 这样的解法,对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数; [7]给出了问题1.2.1的解法如下:;后,问题就显得复杂了。; 问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式,来确定2或3个矩阵; 已有文献都是将给定的矩阵等式,看成是矩阵的线性运算与; 定理3.1;证明:由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知;例3.2;定理3.3;这与A-kE可逆矛盾。;定理3.4 题设同于 定理3.1且设对 的带余除法式;证明:由带余除法的性质知(3.3)中 ,且; 除式为一次因式的带余除法,有更为简单“综合除法”; 例3.5 问题1.1.5中矩阵 的化零多项式为 ; 例3.6 问题1.2.1的化零多项式为 ,; 例3.7 问题1.1.11中矩阵 的化零多项式;问题1.1.17也可用类似的方法解决,从A 的化零多项式; 例3.8 问题1.2.2的化零多项式 ; 例3.9设 阶矩阵 满足 (k为正整数),则;的化零多项式。 ;例3.11 问题1.1.7: ;; 由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构,特别是应用的广泛, 现行的线性代数,很多将这两类矩阵作为教学内容,并 且有 ;;定理3.6 ; 应用二次矩阵与其化零多项式的性质,很容易将幂等矩 阵(算子)的性质推广到更一般的情况。 ;参考文献; [9].俞正光,刘坤林,谭泽光,葛余博. 线性代数通用辅导讲义,线性代数简明教程,清华大学出版社,北京 2007年4月.;[15].黄光谷,胡启旭,向晓亚,石先军. 考研数学题典,华中科技大学出版社, 武汉,2003年5月.;[21].黄廷祝,成孝予. 线性代数,高等教育出版社, 2009.;谢 谢!

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