轻线单摆冲击运动的角速度和张力.PPT

{范例2.3} 轻线单摆冲击运动的角速度和张力 长l的轻线，一端固定，另一端系一质量为m的小球，形成单摆。将小球悬挂在铅直位置，然后用外力冲击小球，使其以水平初速度v0开始运动。求小球转过θ角时角速度和线中张力的大小。 [解析]如图所示，小球受到重力mg和轻线对小球的拉力T的作用，当小球转过θ角时， 左式可化为 可得-gsinθdθ = lωdω， 由于dθ/dt = ω，而v = lω，所以dv = ldω， v0 m θ l h T en et v O 积分 可得 小球角速度为 切向运动方程为 长l的轻线，一端固定，另一端系一质量为m的小球，形成单摆。将小球悬挂在铅直位置，然后用外力冲击小球，使其以水平初速度v0开始运动。求小球转过θ角时角速度和线中张力的大小。 法向运动方程为 小球的速度为 当小球自由下落l高度时，速率为 轻线的张力为 v0 m θ l h T en et v O 张力可改为 小球角速度为 则角速度可改写为 角速度和张力是角度θ的函数，初速度v0是函数中的参数。 {范例2.3} 轻线单摆冲击运动的角速度和张力 当ω = 0时，小球运动的最大角度为 ①如果初速度v0比较小，小球运动到一定的角度就会停止，然后往回运动。 轻线的最小张力为 可知：v0最小取0，最大取V0，即0 ≤ v0/V0 ≤ 1； [讨论] 当v0 = 0时，θM = 0，轻线静止在竖直方向，最小张力TM有最大值mg； 小球运动最大角度的范围是0 ≤ θM ≤ π/2。 当v0 = V0时，θM = π/2，轻线达到水平位置，最小张力TM为最小值0。 {范例2.3} 轻线单摆冲击运动的角速度和张力 ②如果初速度v0比较大，但不是很大，小球的θ角会超过π/2，然后做斜抛运动，如图所示。 则初速度为 [讨论] 这就是临界初速度。 在极限情况下，小球刚好达到最高点，令θM = π， 当1 v0/V0 1.5811时，小球将脱离轻线的束缚做斜抛运动，斜抛角由上式决定。 小球刚好做斜抛运动时，轻线的张力为零。 令T = 0，小球运动的角度与速度之间的关系为 轻线张力刚好为零的角速度为 小球斜抛的初速度为 v0 m θ l vM O {范例2.3} 轻线单摆冲击运动的角速度和张力 ③如果初速度v0很大，即v0/V0 ≥ 1.5811时，小球可越过最高点继续做圆周运动。 [讨论] 临界张力为与角度之间的关系 当v0取临界速度时， 即 临界角速度与角度之间的关系 vC m θ l O v vM TC TC = 3mg(1 + cosθ)。 {范例2.3} 轻线单摆冲击运动的角速度和张力 当比值在1到临界值之间时，物体达到最小角速度后就会做斜抛运动，最小角速度曲线(点虚线)是这些角速度曲线的终点。 单摆圆周运动的角速度都随角度的增加而减小。 只有当初速度与自由落体的速率比值不大于1时，角速度才能减小到零。 当比值超过临界值时，物体将越过最高点做圆周运动。 只有比值不小于1，也不大于临界值时，张力才会减小到零。临界张力最大为6mg，最小为零。 单摆轻线内部的张力随角度的增加而减小，当初始速度与自由落体速率的比值小于1时，最小张力不等于零。 当比值超过临界值时，物体将跃过最高点做圆周运动，张力在最高点也不为零。