重要的单位向量.PPT

Copyright ? 滄海書局 Chapter 4 向量空間 4.1 ~ 4.5 Part A 4.1 向量基本介紹 4.2 點積、範數、角度及距離 4.3 廣義向量空間 4.4 子空間 4.5 向量之線性組合 4.1 Introduction to Vectors Example 3 Example 5 零向量 Theorem 4.1 Example 6 行向量 4.2 點積、範數、角度及距離 點積性質 Rn中向量之範數  Example 2 Example 3 重要的單位向量  (1, 0), (0, 1)為R2空間之單位向量 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)為R3空間之單位向量 (1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 1)為Rn空間之單位向量 Theorem 4.2 Definition Example 6 Example 7 Theorem 4.4 二點距離 Example 8 範數及距離的重要性質 Rn空間之歐基理德幾何 向量u, v之點積：u ?v = u1v1+ ??? + unvn 向量u之範數： 向量u, v間之夾角： 點x與y間之距離： 4.3 向量空間 矩陣向量空間 函數向量空間 函數向量空間 複數向量空間Cn Theorem 4.5 4.4 子空間 Example 2 Example 2 Example 4 Example 5 Theorem 4.6 Example 6 4.5 向量之線性組合 Example 2 Example 3 Example 4 Example 5 Example 6 Example 7 生成集合 Example 9 Theorem 4.7 Example 10 Example 11 Example 12 Example 13 我們可一般化上式的結果。令v1及v2為向量空間R3之向量，則由v1及v2構建之子空間U的元素均為具有c1v1 + c2v2形式之向量，若v1, v2並非共線，則U即為由v1, v2所定義之平面（詳圖4.18）。 令v1及v2生成向量空間V之子空間U，若k1, k2為二任意純量，試證k1v1及k2v2亦生成U。 Solution 令v為U之任意向量，由於v1, v2生成U，因此必定存在有任意純量a, b，使得 v = av1 + bv2 上式可改寫成 亦即(k1v1)及(k2v2)亦生成U。 由幾何可知（詳圖4.19），若v1及v2為R3之向量，且並非共線，則U為三維空間中的一個平面，而(k1v1)及(k2v2)則為分別與v1及v2共線（因成比例）之向量。 令U為由(1, 2, 0)及(?3, 1, 2)所生成之R3子空間，而V為由(?1, 5, 2)及(4, 1, ?2)所生成之R3子空間，試證明U = V。 令u為U之任意向量，須證明u亦在V中。因u?U，所以存在有純量a, b，使得 我們必須要知道u是否也可以寫成是(?1, 5, 2)及(4, 1, ?2)的線性組合， 其中p, q必須滿足 Solution 上列系統有唯一解 因此u可被寫成 亦即u為V之向量。反之，令v = c(?1, 5, 2) + d(4, 1, ?2)為V之向量，讀者可自行求解得出下式 v = (2c + d)(1, 2, 0) + (c ? d)(?3, 1, 2) 當然v亦為U之向量。 因此U = V，而這個子空間則為通過原點並由(1, 2, 0)及(?3, 1, 2)所定義之平面（詳圖4.20）。 令U為由函數f(x) = x + 1及g(x) = 2x2 ? 2x + 3所構建的向量空間，試證明函數h(x) = 6x2 ? 10x + 5在U中。 Solution h在由f及g所構建的U中，若存在有純量a, b，使得 a(x + 1) + b(2x2 – 2x + 3) = 6x2 – 10x + 5 即 2bx2 + (a – 2b)x + a + 3b = 6x2 – 10x + 5 比對係數可得 2b = 6 a – 2b = – 10 a + 3b = 5 上列方程式系統有唯一解c1 = ?4, c2 = 3，亦即 – 4(x + 1) + 3(2x2 – 2x + 3) = 6x2 – 10x + 5 因此可知，函數h(x) = 6x2 ? 10x + 5在由f(x) = x + 1及g(x) = 2x2 ? 2x + 3所建構的向量空間中。 定義： 向量空間V為對「向量加法」與「純量乘積」二種運算均有定義，且滿足所有下列公理之一組元素（即向量）所構成的集合。（以下u, v, w為V之任意向量，