一般项级数-GraphicsXMU.PPT

返回 后页 前页 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: 则级数(1)收敛. 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项 和偶数项分别为 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套.由区间套定理,存 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的: 在惟一的实数 S, 使得 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数 由于 因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有 的各项绝对值所组成的级数是 因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛. 例1 级数 例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收 敛. 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级 数两大类. 下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质. 1.级数的重排 我们把正整数列{1,2,…,n, …}到它自身的一一映射 若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条 件收敛. 原数列的重排. 相应地称级数 为级数(5)的重 作 定理12.13 设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任 意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S. 称为正整数列的重排, 相应地对于数列 第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个 部分和. 用 表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数(5) 的重排, 所以每一 应等于某一 *证 只要对正项级数证明了定理的结论, 对绝对收 敛级数就容易证明定理是成立的. 即级数(7)收敛, 且其和 由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有 , 从而得到 . 这就证明了对正项级数定 理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的. 则对于任何 要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令 第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的 办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差 其和不变, 从而有 由级数(5)绝对收敛, 及(9)式, 知 都是收 敛的正项级数. 因此 注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 条件收敛级 数重排后得到的新级数,不一定收敛, 即使收敛,也 不一定收敛于原来的和. 更进一步, 条件收敛级数 适当重排后, 既可以得到发散级数, 也可以收敛于 任何事先指定的数. 例如级数(2)是条件收敛的, 设 其和为A, 即 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排: 我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习 指导书下册39页). 2. 级数的乘积 由定理12.2知道, 若 为收敛级数, a为常数, 则 由此可以立刻推广到收敛级数 与有限项和的乘 积,即 那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质? 将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下 设有收敛级数 表: 可以按各种方法排成不同的级数, 常 用的有按正方形顺序或按对角线顺序. 定理12.14 (柯西定理) 若级数(11)、(12)都绝对收敛, 依次相加,于是分别有 和 则对(13)中 按任意顺序排列所得到的级数 也绝对收敛, 且其和等于AB. *证 则必有 的部分和数列 都是有界的. 由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛, 因而 于是由不等式(16)知 是有界的, 从而级数 绝对收敛. 下面证明 的和 由于绝对收敛级数具有可重排的性质, 即级数的和 与采用哪一种排列的次序无关, 为此, 采用正方形 顺序并对各被加项取括号, 即 将每一括号作为一项, 得到新级数 同收敛, 且和相同