竞赛专题同余.docVIP

第5讲 同余 【知识点】 1．设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余，记作，显然，； 每一个整数a恰与1，2，……，m，这m个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 【例1】证明：完全平方数模4同余于0或1； 证明： 所以原命题成立； 【例2】证明对于任何整数,能被7整除； 都能被7整除； 注： 【例3】试判断能被3整除吗？ 【例4】能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为， 且满足 【例5】在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。 【例6】设是整系数多项式， 证明：若 【例7】试求出一切可使被3整除的自然数； 【例8】在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂； 【例9】设是任意一个具有性质的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个用适当的正整数 【练习】 1、证明：完全平方数模3同余于0或1； 证明：完全平方数模5同余于0、1或4； 证明：完全平方数模8同余于0、1或4； 证明：完全立方数模9同余于-1、0或1； 证明：整数的四次幂模16同余于0或1； 2、设