第29届全国中学生物理竞赛决赛模拟试卷与的的答案.docVIP

第2届全国中学生物理竞赛决赛模拟试卷一．（15分）两个质量分别为和的小球，它们之间的相互作用表现为斥力（斥力大小表达式为，是常数，为两球之间距离）. 现已知以速度接近，瞄准距离为b，即到速度方向的垂直距离为b，如图所示. 求小球接近小球的最近距离d. 设，小球可近似看作静止. 一．解：小球受力始终指向小球中心，小球在一平面内运 动．如图所示．设z轴垂直于此平面且通过小球中心，则小球所受力对z轴的力矩为零，即对z轴角动量守恒．小球以速度v0运动，对z轴角动量是，但，故，小球最接近小球（距离为d）时，即无继续向小球运动的速度，又无远离小球的速度，此刻的速度v应与小球至小球的连线垂直，角动量是．于是 （1） （5分） 得 在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒。最初，其能量为动能，到达离小球最近时，其总能量为 ， 后一项为斥力势能，k为一常数．因此， （2） （4分） 有（1）（2）得 （4分） d只能为正，故式中负号无物理意义，舍去． （2分） 二．（20分）如图所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固定点O，线长为l，初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0. 在小球开始运动后，线碰到铁钉O1. 铁钉的方向与小球运动的平面垂直. OO1=hl，且已知OO1与铅垂线夹角为β，设与铅垂线夹角为. 假设碰后小球恰能做圆周运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化. 二．可由 （3分） 得出 设初始夹角为α 由机械能守恒得到： （5分） 假设碰前瞬时速度为v1 则： （2分） 碰前： （3分） （3分） （4分） 三、（1分）斯泰瓦—托尔曼（Stewart-Tolman）效应 1917年，斯泰瓦和托尔曼发现，一绕在圆柱上的闭合线圈，当该圆柱以一定角加速度绕轴旋转时，线圈中会有电流流过。 设有许多匝线圈，每匝线圈的半径为r，每匝线圈均用电阻为R的细金属导线绕成，线圈均匀地绕在一很长的玻璃圆柱上，圆柱的内部为真空。每匝线圈的位置用粘胶固定在圆柱上，单位长度的线圈匝数为n，包含每匝线圈的平面与圆柱的轴垂直。 从某一时刻开始，圆柱以角加速度绕其轴旋转。经过足够长时间后，求圆柱中心处的磁场的磁感应强度B。设电子的电量e和质量m为已知。 三、参考解答： 先考虑一个圆环。 考虑环的一小部分，并引进该小部分在其中静止的参照系。环以恒定的角加速度运动，于是，我们引进的参照系不是惯性系，它具有一定的线加速度。此加速度的径向分量可不必考虑，因为环很细，观察不到任何径向效应。加速度的切向分量为r。在我们所取的参照系中，形成金属晶格的正离子处于静止状态。在此参照系中有惯性力作用在电子上，此力的大小为，方向与上述切向加速度方向相反。 晶格与电子间的相互作用下不允许电子无限制地增加速度。根据欧姆定律，此相互作用随电子相对晶格的速度的增大而增大。某一时刻，惯性力与这种相互作用造成的阻力会达到平稳。结果，正离子与负的电子以不同的速度运动。这就是说，在正离子静止的参照系中将有电流流过。 此惯性力大小是常量，方向在环的每一部分均与环相切，它对电子的作用与一个在每一点上与环相切的虚拟电场相同。 现来求此虚拟电场的大小。显然，此电场的作用力应等于惯性力。由此 （1） 因而 （2） 在电阻为R的环（静止）中，上述电场将产生电流 （3） 于是，在所考察的环中的电流应为 （4） 诚然，场是虚拟的电场，但它描述了惯性力对电子的一种真实作用。环中的电流是真实的。以上想法可用来处理题中所述单位长度有n匝线圈（沿对称轴）的很长螺线管的问题，其中流有电流I。大家知道，在此螺线管中，磁场B的大小均匀（在远离两端处），其值为 （5） 式中为真空磁导率。由于轴上一点不转动，不论在转动非惯性系中还是在实