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第28届全国中学生物理竞赛复赛试题与参考解答
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题
参考解答
一、参考解答：
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有
（2）
设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
（3）
（4）
由图1可知，P点的坐标
（5）
（6）
把（5）、（6）式代入（1）式化简得
（7）
根据求根公式可得
（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
(9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
(10)
式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（11）
得
（12）
代入有关数据得
(13)
设P点速度方向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律
（14）
其中为面积速度，并有
（15）
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
（16）
二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
为地面作用于杆的摩擦力，为地面对杆的支持力，、为杆作用于杆的摩擦力和支持力，、分别为墙对杆和的作用力，为重力.取杆和构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有
（1）
（2）
以及对A点的力矩
即
（3）
式中待求.是过的竖直线与过的水平线的交点，为与的交点．由几何关系有
（4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
（5）
（6）
以及对点的力矩
（7）
解以上各式可得
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆平衡的必要条件为
（14）
由（12）、（13）、（14）式得
（15）
AB杆平衡的必要条件为
(16)
由（10）、（11）、（16）式得
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