函数极限概念-GraphicsXMU.PPT

返回 后页 前页 §1 函数极限概念 一、x趋于?时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本 联系,它们之间的纽带就是归结原理. 函数极限与数列极限之间有着密切的 概念和重要性质.作为数列极限的推广, 返回 一、x趋于?时的函数极限 设函数 定义在 极限. f (x)当 x 趋于 时以A为 也无限地接近A,我们就称 无限远离原点时,函数f (x) 上,当 x 沿着 x 轴的正向 趋于 例如 函数 当 时, 10 20 30 40 O 0.5 1 为极限. 以 记为 或者 定数, 若对于任意正数 存在 使得 定义1 A 为 ④ ③ ①任意给定 ②存在 ④ ③ ①任意给定 ②存在 注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家 所以(由定义1), 例1 证明 任给 取 证 与不同点. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点 例2 证 任给 这就是说 定义2 记为 则称 或 记为 定义3 存在 当 或 证 对于任意正数 这就是说 例3 求证 例4 求证 所以结论成立. 证 对于任意正数 ? , 可取 从定义1、2 、3 不难得到: 定理 3.1 则由定理 3.1， 的充要条件是： 例如 二、x趋于x0 时的函数极限 设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 　　　内有定义. 定义4 为极限的定义. 下面我们直接给出函数 f (x) 　　　　时以常数 A 或者 记为 则称 例5 证明 时, 使 分析 因 只要 式就能成立, 故取 即可. 证 这就证明了 例6 证明 可以先限制 因为此时有 故只要 所以 要使 分析 这就证明了 证 有 例7 求证： 注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 ? , 或许所求出的 ? 证 首先，在右图所示的单位圆内, 显然有 即 故 O C D B A y x x 同理可证: 例7 证明： 证 因为 则 这就证明了所需的结论. 在上面例题中, 需要注意以下几点： , 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 1. 对于 的 不同的方法会得出不同的? , 不存在哪一个更 好的问题. 数都可以充当这个角色. 3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数. , 那么比它更小的正 是不惟一的, 一旦求出了 有时为了方便,需要让 ? 小于某个正数. 一旦对这 为贵”. 当然也能满足要求. 所以我们有时戏称 ? “ 以小 样的 ? 能找到相应的 ? , 那么比它大的 ? , 这个 ? 平面上以 y =A为中心线, 宽为 的窄带, 可以找到 使得曲线段 4. 函数极限的几何意义如图, 对于坐标 落在窄带内. 三、单侧极限 x 既可以从 x0 但在某些时 定义5 A 为常数. 若对于任意正数? , 在定义区间的端点和分段函数的分界点等. 候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数 则称 A 为函数 f 当 时的右(左) 右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见， 极限,记作 有时记