计算机算法设计与分析(第3版)[王晓东编著][电子教案第4篇章.ppt

4.5 单源最短路径 迭代 S u dist[2] dist[3] dist[4] dist[5] 初始 {1} - 10 maxint 30 100 1 {1,2} 2 10 60 30 100 2 {1,2,4} 4 10 50 30 90 3 {1,2,4,3} 3 10 50 30 60 4 {1,2,4,3,5} 5 10 50 30 60 Dijkstra算法的迭代过程： 4.5 单源最短路径 2、算法的正确性和计算复杂性 (1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质 (3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要 时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要 时间。算法的其余部分所需要时间不超过 。 4.6 最小生成树 设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。 网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。 4.6 最小生成树 1、最小生成树性质 用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节介绍的构造最小生成树的Prim算法和Kruskal算法都可以看作是应用贪心算法设计策略的例子。尽管这2个算法做贪心选择的方式不同，它们都利用了下面的最小生成树性质： 设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)?E，且u?U，v?V-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。 4.6 最小生成树 2、Prim算法 设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。 构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件i?S，j?V-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。 在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。 4.6 最小生成树 利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，上述算法中的边集合T始终包含G的某棵最小生成树中的边。因此，在算法结束时，T中的所有边构成G的一棵最小生成树。 例如，对于右图中的带权图，按Prim算法选取边的过程如下页图所示。 4.6 最小生成树 4.6 最小生成树 在上述Prim算法中，还应当考虑如何有效地找出满足条件i?S,j?V-S，且权c[i][j]最小的边(i,j)。实现这个目的的较简单的办法是设置2个数组closest和lowcost。 在Prim算法执行过程中，先找出V-S中使lowcost值最小的顶点j，然后根据数组closest选取边(j,closest[j］)，最后将j添加到S中，并对closest和lowcost作必要的修改。 用这个办法实现的Prim算法所需的计算时间为 4.6 最小生成树 3、Kruskal算法 Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是，首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。 4.6 最小生成树 例如，对前面的连通带权图，按Kruskal算法顺序得到的最小生成树上的边如下图所示。 4.6 最小生成树 关于集合的一些基本运算可用于实现Kruskal算法。 按权的递增顺序查看等价于对优先队列执行removeMin运算。可以用堆实现这个优先队列。 对一个由连通分支组成的集合不断进行修改，需要用到抽象数据类型并查集UnionFind所支持的基本运算。 当图的边数为e时，Kruskal算法所需的计算时间是 。当 时，Kruskal算法比Prim算法差，但当 时，Kruskal算法却比Prim算法好得多。 4.7 多