应力和应变分析状态强度理论讲义.ppt

特例: 平面应力状态 y z x 三、体积应变 dx dy dz 变形前正六面体的体积为: 变形后正六面体的体积为: 体积应变 θ : 代入广义胡克定律 得到: 令: 平均主应力 体积弹性模量 或: 得到: 体积应变仅与平均主应力有关,与三个主应力的各自数值无直接关系。 钢块上凹坑的直径为50.01mm，凹坑内放置一直径为50mm的钢制圆柱，圆柱受F=300kN的轴向压力，假设钢块不变形。 例题： 确定圆柱体的主应力 解： p p 圆柱体横截面上的应力为： 在轴向压缩下，圆柱体将产生横向膨胀，产生均匀的径向压力p 在均匀的径向压力p作用下，圆柱体中任一点的径向应力和周向应力都等于p p O C -p p p p 由于钢块不变形， 由广义胡克定律 代入前面的结果，有 解得： 圆柱体任一点的主应力为： §7.7 复杂应力状态的应变能密度 A ① ② ③ 1、载荷叠加原理在计算应变能时将不再适用。 理由？ 一、复杂应力状态下应变能计算的几个问题： 2、应变能的大小与加载次序无关，仅取决于载荷的最后的数值。 A ① ② ③ 复杂应力状态下应变能的计算可采用比例加载法。 将 按照同一比例同时加大， 这时 仍成线性关系。 A ① ② ③ 二、复杂应力状态下的应变能密度 代入广义胡克定律 得到： 二、体积改变能密度和畸变能密度 体积改变能密度 ： A 体积应变仅取决于平均主应力 得到： 畸变能密度： 应变能密度 = 体积改变能密度 + 畸变能密度 例题： 推导各向同性线弹性材料的E、G、μ 的关系 解：纯剪切应力状态的应变能密度为： 纯剪切应力状态的主应力为： 代入复杂应力状态下的应变能密度计算公式： 两种方法所得到的应变能密度应当相同，得到： 1 2 3 4 5 1、5两点基本单元体即为主单元体 A B q l m n a 主应力迹线 §7.4 二向应力状态分析—图解法 将上述公式改写为: 等式两边平方,求和,得: 一、理论基础 上式是以 为圆心, 为半径的圆。 这一个圆，称为应力圆。 R 应力圆 c 圆心在 ,半径 的圆。 二、应力圆的画法 4、以C为圆心，CD为半径作圆 A 1、由 得D点 2、由 得D’点 3、 连DD’交 s 轴 于C 点 应力圆 D D’ C D D’ C A O B R 方法的证明: 所以以C为圆心，CD为半径的圆为应力圆 D D’ A O B C E 1、求任意斜截面mm上的应力 三、应力圆的应用 m m 从D点，沿圆周旋转2α角，旋转方向α角的转向一致，得到E点。 E点的横坐标和纵坐标分别为斜截面mm上的正应力和切应力。 D D’ A O B C E 证明： 同样，可证得： D D’ A O B C 2、确定主平面的位置 和主应力的大小 A1 B1 A1 ——最大主应力所在截面 主平面 B1 ——最大主应力所在截面 主平面 A D D’ A O B C A1 B1 主平面的位置 3、确定最大切应力的大小 和所在截面的位置 D D’ A O B C A1 B1 G2 G1 G1 ， G2 —— 最大切应力 所在截面 显然有： 最大切应力截面和主平面的夹角为 最大切应力截面上还有正应力 点面对应 — 应力圆上一点对应着微元某一斜截面上的应力 转向对应 — 应力圆上圆心角和斜截面之间夹角的转向相同。 二倍角对应 — 应力圆上两点之间的圆心角等于它们所对应的斜截面之间夹角的两倍。 有关应力圆结论： D D’ C A O B R A 一点的应力圆完全确定了一点的应力状态。 T T 例题 分析铸铁圆棒扭转时的破坏形式 解： O D D’ 确定单元体的主应力和主平面 解： 例题： D D’ C 主平面位置: D D’ C D D’ C 主应力大小为： 作业 7-4 a,e,f 7-7 §7.5 三向应力状态 A F A 一、三向应力状态的实例 三向受压应力状态 F F A A 三向受拉应力状态 二、三向应力状态分析 一般的三向应力状态分析比较复杂， 我们仅讨论三个主应力为已知的情况。 A a b c c’ b’ a’ a b c c’ b’ a’ 考虑平行