插值与逼近讲义.ppt

定义 已知 n+1个互异点上 的函数值 和导数值 ,若存在 一个次数不超过2n+1的多项式H(x)，满足 则称H(x)为f(x)的2n+1次埃尔米特(Hermite)插值 上式给出了2n+2个条件，可惟一确定一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)，采用类似于求Lagrange插值多项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插值多项式H2n+1(x) 次数不超过2n+1次的多项式的形式为： H2n+1(x)=a0+ a1x+ a2x2+ …+ a2n+1x2n+1 由2n+2个条件来确定2n+2个系数a0, a1, a2, …a2n+1显然非常复杂, 所以要用求Lagrange插值多项式的基函数的方法, 求插值基函数λi(x)及μi(x) (i=0,1,2, …,n)共有2n+2个, 设每一个基函数为次数不超过2n+1次的多项式，且满足条件 (i, j =0,1,2, …,n) Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式 验证： 于是得，满足条件 的2n+1次Hermite插值多项式为 定理6.2.1 若f(x)在?a,b?上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为 其中 由线性代数知，任何一个不高于n次的多项式，都可以表示成函数 的线性组合，也就是说，可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式写成如下形式 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数，这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即 （6.4.1） 可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式，与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点，且可以节省乘除法运算次数，同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系。 它满足 6.4 .1 差商及其性质 定义 函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化率 自变量之差和因变量之差之比叫差商 称为f(x)关于xi , xi+1 的一阶差商,并记为f[xi ,xi+1] 二阶差商 m阶差商 f[xi,xj,xk]是指 f[xi , xj , xk]= f[xj , xk]- f[xi , xj ] xk- xi 一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为 差商表 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2] x0 f(x0) x1 f(x1) f[x0,x1] x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2] x3 f(x3) f[x2,x3 ] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2 ,x3] … … … f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] 0 0 2 8 3 27 5 125 6 216 例6.4.1求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表 这个性质可用数学归纳法证明 性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可由 函数值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组 合表示, 且 差商的性质 f[x0 , x1]= f[x1 , x0] f(x1)- f(x0) x1 – x0 f(x0)- f(x1) x0 – x1 = 性质2 差商具有对称性,即在k阶差商中 任意交换两个节点 和 的次序,其值不变。 例如 性质3 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多项式, 则 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多项式 证：由差商定义 右端分子为 m 次多项式, 且当 x = xk+1 时, 分子为0 ,故分子含有因子 xk+1 – x，与分母相消后，右端为m-1 次多项式。 4.4 .1 差商及其性质 性质4 若 f(x)是n次多项式, 则f [x, x0, x1